56 К. Spallek.

Bemerkung . Die eben beschriebene Eigenschaft ^||{^v}^ ist invariant über lokalen Diffeomorphismen in Xq,

2 . ^* ClR" sei eine weitere Teilmenge. Mit obigen x" gelte ^Ц^-}^*. Dann gibt es also / e^* mit Ишд{х\ /)/^(x^ Xo)'' = 0. Nun gilt:

Beweis . Fur große v gilt Q{y\ xo) è q{x\ Xo) - q{x\ f) ^ Qix\ xo) - i • q{x\ XoY ^ \ ' q{x\ Xo) , ferner ist д(у\ Щ S д{у\ x') + q{x\ ^). Also folgt

0 й Q{y\ miQ{y\ ^of й {Q{y\ x^) + q{x\ ^Ib ' ^(^^ ^оГ für große V. Daraus folgen nun beide Richtungen.

3 . Sei /:={r; t reell, \t\<ß}, (р:1-^Ш" mit (p{0) = Xo eine Abbildung der Klasse C, die im 0-Punkt zur Klasse Cp gehört. Es gibt eine Abbildung ß./->IR" der Klasse C"^ mit 0 + (p^P\0) = Q{0) und (p{t) = Xq-^t^• Q{t). Sei Г: = ф(/).

Vorübergehend wollen wir folgende Situation annehmen: a) Es gebe zu jeder Folge x'e^^l^o) i^it limx" = Xo gewisse t^el\{0} mit limt^ = 0 und x'' = (p{Q. Mit a: = Q{0) folgt hieraus und aus der Darstellung (p{t) = Xo -htP'Qit) nun C(^iJ={A-a;Areell}. Ist insbesondere йеС(^^^) und Ь,фО für die f-te Komponente, so folgt 0,(0) ФО, also (p[P\0)=\=0. b) Die aussetzung zu a) ist z. B. erfüllt, wenn |Ô(OI ^ c>0 für ein с und alle t eI gilt.

Für alles weitere fixieren wir nun eine Folge t^ e /\{0} mit limt^ = 0. Dann sei x'':=(p{Q. Wegen 0(0) фО ist x" ф Xq für fast alle v. O. B. d. A. sei dies für alle V richtig. „ ,,

Sei weiter xp : /^IR" von der Klasse C^ -r*f-(0) = -7^(0) für f = 0,1,..., r

dt dt

und r = p-r'. Mit ^^ : = xp{I) folgt hieraus :

limQ ( ( p { t , l xp{t,))/Q{(pit^l XoY = 0,

insbesondere also ^^If^v}^^.

Beweis . Es ist limQ{(p{t^lxp{t^))/Q{t^,Oy = 0 und für ein c>0 und große v: Q(q>{t,l Xo) ^ с • Q{t,, Оу. Also folgt

0 S Ито(ф(а xpiQ)/Q{(p{Q, ХоУ й lim^((p(t,), xpiQVC' ' Q{t,, ОУ ^ = 0.

4 . Sei 1R"= {(xi, ...,xj}, IR^ = {w}, x„ w reell. Sei U = {x; \х\<ой 1/2}. аДх) seien in einer Umgebung von U analytische Funktionen. Sei

i - i A:={{x,wy, XG[/, P{x,w)= Y.a,{x)'w' + w' = 0}CUxR'.

v = 0

Die Teilmenge BcU umfasse die Nullstellenmenge der Diskriminante D(x) vonP(x, w)in U. Sei Xq g U\B,(xq, Wq) e Ä, K(xo): = {x; |x - XqI < Min(^(xo, B),

^ - ^ ( ^0 , 0 ) ) } . ______

Es gibt nun genau eine in K(xo) analytische, in V{xq) stetige Funktion h{x) mit h{xo) = Wq und F(x, h{x)) = 0 in F(xo). Für alle x g F(xo) gilt:

Q { h { xУh { xo ) ) йM'Q { x , Xo ) '^^ . wobei M eine nur von den a^{x) abhängende Konstante > 0 ist.