Der Euklidische Defekt bei quadratischen Räumen

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II . Ein paar allgemeine Sätze über Basen

Wir beginnen mit einem Satz über die Existenz von orthogonalen Basen in metrischen Räumen.

Satz 1. {eXei s^^ ^i^ Erzeugendensystem des Raumes (£, Ф) derart, daß jedes e^ auf höchstens abzählbar vielen anderen Erzeugenden nicht senkrecht steht, E ist direkte, orthogonale Summe von Teilräumen höchstens abzählbarer sion, die von Teilfamilien der e^ aufgespannt werden. Insbesondere besitzt E also eine Orthogonalbasis. Ist {E, Ф) halbeinfach, dann gilt dim£ ^ Kq falls card/ g Kq ist, und dim£ = card/, falls card/ > Kq ist.

Beweis . Sei R das Radikal von E, F ein algebraisches Komplement von R in E. Zerlegen wir jedes e„ e^ = r, + e[ mit r^eR und e[eF, so ist Ф{е^,е^ = Ф{е[, e'^ für alle i, x e /. Da F halbeinfach ist, genügt es also, die Behauptung des Satzes für halbeinfaches (£, Ф) zu beweisen.

Wir betrachten Teilmengen J von / mit den Eigenschaften : (i) card(J) ^ Kq, (ii) e^Le^ für alle i e J und alle xel — J. Wir betrachten ferner Mengen / von solchen Mengen J mit der Eigenschaft (iii) : J n J' = 0 für J Ф J', J und J' in /. Nach dem Zornschen Lemma gibt es eine bezüglich С maximale Menge /q- Es sei ^0 = ^ - U/o*^- ^^^ zeigen, daß /q leer ist. Gesetzt es wäre Iq Ф 0, dann ließe sich /o echt vergrößern wie folgt. Sei Iq ein Element von /q. Wir definieren Teilmengen J^C/o (f = 1, 2, 3,...) induktiv auf folgende Weise: Jo={^o}» J„+1 = Menge aller i e /^ derart, daß es ein aeJ^ gibt mit e, nicht senkrecht zu e„. Durch Induktion beweist man leicht, daß J„ höchstens abzählbar ist. Also gilt dasselbe für J^ = (J J„. Aber auch (ii) ist erfüllt für J^ : Ist i e J^ und

n

ceIq — J^, dann ist e^±e„ nach Konstruktion von J^, ist hingegen (тф1о, so ist sogar eil.e„ für jedes ieIq. Schließlich ist trivialerweise J^r\J = Q für jedes Je/o und, da J^ Ф0 ist, ist З^ф/^. Das widerspricht aber der Maxi- malität von /q. Also ist I^ = 0, mit anderen Worten, es ist / = [j^J. Es ist jetzt klar, daß E in eine orthogonale Summe von Räumen Ej zerfallt, J e/o,Ej gespannt von den Elementen der Menge J. Wegen Qe/q ergibt sich die gleichung (card/o) - 1 g dimE ^ Ko card/o ; ferner ist card/ ^ Ko card/o- Ist also card / > Ko, dann folgt card /q = card / > Ko, also dim E = card /о = card / wie behauptet.

Satz 2. {E, Ф) sei halbeinfach und Summe zweier totalisotroper Teilräume, E=V@W, V-^dV und W^JW. Die folgenden beiden Bedingungen sind äquivalent:

( 1 ) {E, Ф) besitzt eine orthogonale Basis,

( 2 ) (£, Ф) besitzt eine symplektische Basis {v^, wj,gj, deren beide Hälften die Räume V und W aufspannen (d. h. es ist Ф{v^, wj — ^,^, Kronecker, und es wird V aufgespannt von den v^,iel, und W von den w^,ie I).

Beweis . Die Implikation (2)=>(1) ist unmittelbar, {t;,-h w„ и^--wj,gj ist in diesem Falle eine Orthogonalbasis von E. Sei also umgekehrt (eX^i eine Orthogonalbasis von E. Wir zerlegen die Basisvektoren in Komponenten,