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K . Spallek :

§ 9. Einbettung difTerenzierbarer Räume

Wir beweisen zuerst für den kompakten Fall :

9 . 1 . Satz. X = (Z,j/) sei ein N-differenzierbarer Raum, l^iV^oo, der A^ erfölle. X sei kompakt. Dann gibt es ein m und eine abgeschlossene Einbettung

Ф : Х - ^ ( А' " 3 * ^ ) .

Beweis . {Щ\ Ф^; iel} sei ein ausgezeichneter Atlas von X. I ist endlich: / = {1,2,3,...,/}. Ф,:X|l/;^D, = (Д,^f/^JCÄ^ seien die dazugehörigen Einbettungen, f* :£>,-> jR"; seien die natürlichen Einbettungsabbildungen und (p^:=z i*о ф^. Mit unserer Übereinkunft ist also cp^e H^(U[', si/^fK

Es gibt ein \p,EH^{X,s^,) mit xp,^=l^ für alle xeÜ,, ip,^ = 0^ für alle XG X\U;. Wir definieren gewisse f, e H^(X, s^,) durch die Vorschrift:

Âx - =Wtx' ( Pix Tür alle xeU;\ f^x'=^x für alle хеХЩ.

Durch / : = (v? 1,..., v^f, /i,..., i^) wird eine differenzierbare Abbildung / : X->(Ä^', é^) definiert. Es ist / sicher eine Immersion./ ist 1 - 1 : Denn ist /W = /W. so folgt insbesondere v;^x) = t/;,(v). Ist etwa xe U,^, so folgt also notwendig y e U;^, Aus ipjx) • (p,^(x) = Д (x) = f,^{y) = ipjy) • cpjy) folgt wegen 1 = ФюW = y^ioiy) damit (p,^{x) = (p,^(y), und daraus x = y, da ç^\u;^ i-1 ist. / ist also stetig und 1-1, also topologisch auf/(X), da X kompakt ist.

Dieses Verfahren gibt auch für nicht kompaktes X einen Einbettungssatz. Wir sind jedoch an schärferen Aussagen interessiert. Zunächst zeigen wir, daß in der „Nähe" von „guten" Abbildungen nur „gute" Abbildungen hegen.

9 . 2 . Satz. X = {X,s/) sei ein N-differ enzierbarer Raum, der A^ und A^ erßlle. X sei lokalkompakt und abzählbar im Unendlichen. Sei KcX kompakt,

a ) Ist p in К eine Immersion, so ist für eine Umgebung V{f^, {ej', i)^ bezüglich eines ausgezeichneten Atlasses % jedes fs V{f^, {e^}', 1)^ in К eine Immersion.

b ) Ist p eine Immersion, so ist für eine Umgebung V{f^, {ßj, 1)^ bezüglich eines ausgezeichneten Atlasses ^ jedes fe V{f^, {ej, 1)^ eine Immersion.

c ) Ist /^ in К eine 1 - 1-Immersion, so istför eine Umgebung V{f^, {e,}', 1)<^ bezüglich eines ausgezeichneten Atlasses ^ jedes fe V{f^, {ej', 1)^ in К eme 1 — 1-Immersion.

d ) Ist p eine Einbettung, so ist für eine Umgebung V(f^, {ej, 1)^ bezüglich eines ausgezeichneten Atlasses % jedes fe V(f^, {e,}, 1)^ eine Einbettung.

e ) Ist /^ eigentlich, so ist für eine Umgebung V{f^, {ej,0)^ bezüglich eines ausgezeichneten Atlasses ^ jedes fe V(f^, {ej, ö)^ eigentlich.

Beweis , a) und b): f^eH^(X,s/y" sei in x^eX eine Immersion. Sei n^ = EinbdimXj^o. Es gibt dann eine relativkompakte Umgebung U"{x^)cX, einen Kreis K^» С R''^ um Ф(х^), einen iV-differenzierbaren Raum D = {D, 9^IJ), wobei D in K^.. enthalten und abgeschlossen ist, und einen Dififeomorphismus