Schrägverbände und Quasiordnungen

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5 . Ordnungstheoretische Charakterisierung der Fastverbände

In Abschnitt 3 haben wir jedem Fastverband g = (M; л, v) eine gezeichnete Quasiordnung ç)(g) = {M;R, R') zugeordnet, in der jedes geordnete Paar (a, b) e M^ ein Infimum und ein Supremum besitzt. Entsprechend wurde im 4. Abschnitt jede Quasiordnung Q = {M;R, R') mit den angegebenen schaften auf einen Fastverband ip{Q) = (M; л, v ) abgebildet. Es läßt sich nun zeigen: Ordnet man der Quasiordnung <p(g) vermöge xp den Fastverband wWiW) zu, so erhält man den ursprünglichen Fastverband g. Bildet man andererseits xp{G) vermöge cp auf (p{y){Q)) ab, so ist dies die ursprüngliche Quasiordnung Q. Denn es gelten die folgenden beiden Hilfssätze:

( 5Л ) 1р ( ф ( 5 ) ) = 5.

Beweis . g = (M; л, v) und ip{(p{^)) = (M; П, U) sind Algebren über selben Menge M. Aus Dualitätsgründen genügt es, die erste der beiden täten аГ]Ь = а Ab und a\Jib = av b nachzuweisen.

Es sei аПЬ = i und а Ab=j. Nach Definition von аПЬт der neten Quasiordnung (p{^) = {M; R, R') ist i = M{a,b), also ist iR'a, iRb und uRa & uRb=>uRi. Nach Definition von R und R' im Fastverband g heißt dies:

( a ) av i = a,

i Ab = i und и Aa = u,u аЬ = u^>u A{a Ab) = a аЬ. Aus (a) folgt i Aa = i und zusammen mit i Ab = i und (3.1)

iß ) ivj=j.

Setzt man и = j, so sind obige Prämissen richtig, also erhält man mit (3.1)

( y ) jyi=i'

Nun ergibt sich aus (a), {ß) und (y) mit Hilfe von (Тд ) und {Ty)i =j v i = {a vj v i)

А {i vj) = {av i) Aj = aAJ =j.

( 5 . 2 ) cp{xp{Q)) = £l.

Beweis . Q = {M;R,R') und q)(xp{Q)) = {M;S,S') sind Relative über selben Menge M. Nachzuweisen sind die Identitäten R = S und R' = S'.

Nach Definition von S im Fastverband (p{Q) = {M; л, v) gilt aSb genau dann, wenn а Ab = a ist. Nach Definition von л in Q ist а л b gleich dem Infimum von («, b) bezügHch {R, R'). Also ist а Ab = a äquivalent zu aR'a, aRb und uRa & uRb=>uRa, dies ist gleichwertig mit aRb. Insgesamt ist also S = R.

Analog bedeutet aS'b die Gültigkeit von b Aa = am tp(Q). Nach Definition von л in Q ist hier а Infimum von {b, a) bezügUch {R, R')\ dies ist genau dann der Fall, wenn aR'b, aRa und uRb & uRa=>uRa ist. Letzteres ist äquivalent zu aR'b. Damit gilt auch У = R\ -

Aus den Sätzen der Abschnitte 3,4 und 5 folgt nun, daß es eine eineindeutige Abbildung (p der Menge der Fastverbände auf die Menge der in Rede stehenden Quasiordnungen gibt. Denn aus (pCSi) = çi^i) folgt ipicpCSi)) = ^((pi'Si))^ ^Iso