Zur Charakterisierung konvexer Korper

83

Hilfssatz 3. Ist С G e und n = 1, oder n > 1 und С ein Polyeder mit höchstens 2n-l Eckpunkten, dann ist С direkt unzerlegbar Insbesondere ist also jedes Simplex S G (£ direkt unzerlegbar

Beweis Fur и = 1 ist die Behauptung trivial Es sei nun С € (£ ein Polyeder mit i; ^ 2n - 1 Eckpunkten Angenommen, С = C^ © C2 mit C, Ф {o}, г = 1,2 L, seien die zugehörigen Unterraume Als Projektion von С auf L, ist C, e G(LJ Indem wir evtl eine geeignete Transformation т (=Тд) ausüben, dürfen wir о В d А annehmen, daß L^ und L2 orthogonal sind Aus (3) und HS 2 folgt ^ G С ist genau dann Eckpunkt von C, wenn m der Darstellung e = e^+e2 ^^^ e^ G Ц der Punkt e, Eckpunkt von C, ist Ist die Anzahl der Eckpunkte des Polyeders C, gleich v^, so ist also v = v^V2 Das heißt, 2n-\^v^V2 ^ (dimCl -h 1) (dimC2 + 1) = (dimC^ + !)(«- dimQ -f-1) ^ 2n wegen dimC^ ^ 1 Widerspruch '

1st L ein Unterraum des R" und Л CL, so sei relinti^^ das relative Innere von A bezughch L

Es seien L^, г = 1, 2 zwei Unterraume mit L^nL2 = {o}, so daß man also die direkte Summe von Lj und L2 bilden kann, und А^,ВхЦ Man sieht

{ Л , @А2 ) п { В , фВ2 ) = {А,пВ,)ф{А2пВ2) (6)

Ist C, G e,(L j, 1=1,2, dann gilt ^^аь,Фь,{Сг 0 C^) = {RRd^^^ C, Ф relint^^ C2} u {relint^^ C, 0 RRd^^ C^} (7)

Sind namlich Lj und L2 orthogonal, so folgt (7) aus (3) und HS 2 Der gemeine Fall laßt sich aber durch eine geeignete Transformation t(=t^) auf diesen Sonderfall zurückfuhren

Es sei nun p G RRd^^^ф^^^(Cl 0C2) gewählt Da man p auf eindeutige Weise in der Form p = Pi-hP2, Pi^Ц darstellen kann und die Klammerausdrucke m (7) disjunkt sind, so ist entweder /ij GRRd^^^Q, />2 e relint^^^ C2 oder Pi G relinti^^ Ci, /?2 e RRd^^^ ^2 Es gelte etwa das erstere und es sei Я m L^ 0L2 die eindeutig bestimmte Stutzebene von Cj 0C2 m p, dann ist H in der Form

H = H,@L2 (8)

darstellbar , wobei H^ die eindeutig bestimmte Stutzebene in Lj von C^ im Punkt pi ist Sind Li und L2 orthogonal, so folgt aus p = p^ + Рз» Pi e RRdi^^ C^ und P2 G rehnt^^^С2 nach HS 2 und (3) ATj^^e^^CCi 0C2, /^) = N^^(C^, p^) Hat Я die Form (z, и) = (/?, и), zgLi0L2, so ist mgL^ und - wenn H^ die Ebene (zi, ii) = (pi,ii), Zi gLj m Lj ist - gilt Я = Яl0L2, also (8) Der allgemeine Fall laßt sich aber auf diesen Sonderfall zurückfuhren

Sowohl der HS 2, als auch (6), (7) und (8) lassen sich sofort auf den Fall von mehr als 2 Summanden übertragen Das wird im folgenden mehrfach verwendet werden, ohne daß wir exphzit darauf hinweisen

Beweis von Satz 1 Wir zeigen den Satz durch Induktion nach n Ist и = 1, so ist der Satz trivialerweise richtig Es sei nun и > 1 gewählt und die tung gelte fur alle Dimensionen gn- 1 KcR" erfülle die Voraussetzungen des Satzes