Scharen positiver Operatoren

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M G Krem und M A Rutman bewiesen diese bemerkenswerte Aussage auf einfache und elegante Weise unter Verwendung des Schauder-Tychonoff- schen Fixpunktsatzes Dieser Beweis gibt aber keine Information über den Wert von a, diesen Nachteil beseitigte F F Bonsall [1] Mittels einer schonen geometrischen Betrachtung gelangte F F Bonsall [2] schließlich zu dem

Satz 6 (1.3). Es seien E ein reeller Banachraum, К ein räumlicher normaler Kegel in E und А eine additive positive (folglich lineare stetige) Abbildung von E in sich Dann ist der Spektralradius r{A) von А Eigenwert des adjungierten Operators А und mindestens einer der zugehörigen Eigenvektoren hegt im dualen Kegel K' von K, d h, es gibt ein/o ^0, /o =t= 0 mit А fQ = r{Ä)JQ

2 . Über Scharen mit positiven Operatoren

2 0 Bezeichnungen, Produktraum

Im folgenden sei E stets ein (reeller oder komplexer) Banachraum und n eine beliebige natürliche Zahl Wir bilden ausgehend von E das Produkt

& = ExEx xE = E''

und erklaren auf (£ die Addition der Elemente und die Multiplikation der Elemente mit Skalaren in natürlicher Weise Damit ist (£ em (reeller oder komplexer) Vektorraum, der mit der durch die Norm

l|ï|| - ||xi|| + +\\xj (at = (xi, ,xJe(Ê)

erzeugten Topologie zu einem (reellen oder komplexen) Banachraum wird Sind yljfc, i, fc=l, ,n hneare Abbildungen von E in sich, so definieren die

n

Beziehungen jj = X Ak^k^ ^ = 1^ ^^ ^^^^ hneare Abbildung 91 in (£, i) = 91зс

fe = i (x = (xi, ,х„)ей, t) = (yi, ,y„)e(£), die sich in Form einer quadratischen Matrix mit den Elementen A^^^ (г, /с = 1, ,n) schreiben laßt Die Abbildung 91 stellt genau dann eine stetige bzw vollstetige Abbildung in S dar, wenn alle A^j^ stetige bzw vollstetige Abbildungen in E sind Sind 91 und Ъ zwei hneare Abbildungen, zu denen die Matrizen mit den Elementen Л,^ und B^,, gehören, so gehört zur Produktabbildung 91S die Matrix mit den Elementen (91®)ii,

= t А^Л>^

i=i

Zujedemf G ©'existieren Elemente/i, ,/„6E;sodaßf(at) = /^(xj-f -f /„(л:„) {x = (Xj, , x„) G Ê) gilt Umgekehrt definiert jedes n-tupel (/i, , /„) von auf E definierten Funktionalen durch obige Gleichung ein auf G definiertes Funktional Diesen Sachverhalt beschreiben wir kurz durch (£' = E'" oder f = (/i, ,/„)

Ist 91 ein Operator, zu dem die Matrix mit den Elementen A^^ gehört, so gehört zum adjungierten Operator 91 die Matrix mit den Elementen (91 \y^ = Ay.^

Sind E ein reeller Banachraum und К ein Kegel m E, so ist Я = К" em Kegel m С Die Eigenschaften K-K = E{K total), K-K = E{K erzeugend),

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