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е>о em ^€^(К)-£f{K) mit g-eS J йд + ь auf К Daher gilt А1°1о^Щйц[д lovO) + c = ß(g /o)Y0

+ £^M(/ + fi) /o)YO + £^/i(/ gY0 + 2e Also ist fur /еЩК) ßij lovO)SßU gYO, und daher д(/ /„ v 0) -/^{/ 'o)Y0, da 'ig{K) und s/ Vektorraume sind, ergibt sich daraus die hauptung (c)

Bemerkung Nach Lemma 2 2 gibt Eigenschaft (c) die Maximalitat der u wieder "^

Eigenschaft (b) des Satzes besagt, daß fur / aus s/ die Abbildung (In) X{R)^sé, defmiert durch {1ц){/) = ц(/ /) {feJf{R), der Menge aller auf R stetigen Funktionen mit kompaktem Trager), ein vektorwertiges Maß auf R ist mit Werten m s/, das außerdem nicht-negativ ist und die l auf Ä in die 1 auf X überfuhrt, ein solches Maß heiße ein se-Maß

Definition , Em s/-Maß m heiße s</-Spektralmaß (Spektralmaß mit Werten in ssf), wenn fur alle f„f^eX{R) m{f, v/2) = m(/i)Ym(/2) gilt

Eigenschaft (c) von Satz 3 1 besagt dann, daß alle j/-Maße {1ц) (les/) Spektralmaße sind

Es bezeichne J'(Ä) die Menge aller reellen, beschrankten, borelmeßbaren Funktionen auf R Em j/-Maß laßt sich auf j^(R) fortsetzen (siehe etwa [7]), und es gilt

Lemma 3.2. Ist m ein se-Maß und fsäS{R), so ist m(f) aus s/ Ist m ein Sil-Spektralmaß, so gilt m{f,w j^)^m{f,)Ym{f^) fur alle f, f^ aus 0§{R)

Beweis (1) Sei Ж = {feЩR) m[f)es^}, da R metrisierbar ist, und Jf (R) С Ж, folgt aus der Bemerkung (1) nach Satz 2 1, daß Ж = J'(R) ist

( 2 ) Da ^{R) ein Vektorraum ist, genügt es zu zeigen, daß m(/ +) = m{f)YO gilt fur alle/aus ^(R) Sei jT = {/e^(R) m(/+)==m(/)YO}, esist jr(Ä)c=?f Sei (/„)„ eine nach oben beschrankte aufsteigende Folge aus Жündf = sup/„

Es gilt allgemein Ist (a„)„ eine aufsteigende Folge reeller Zahlen" mit a = supa„< + 00, so gilt a+ = supa+ Daher ist /+ = sup/„+, und

m ( / + ) = supw(/„+) = sup(m(/„)YO) = sup/i(m(/„) v 0)

n n n

= ß{sup{m{f„) V 0)) = /i((supm(/„)) v 0) = ß{m{f) v 0) = m(/)YO

Also ist feЖ Ebenso folgt, daß der Limes einer nach unten beschrankten, absteigenden Folge aus ЖтЖ liegt Nach der im vorigen Abschnitt gegebenen Charakterisierung von J'(R) folgt, daß Ж = ^(R) ist

Dieses Lemma ermöglicht folgende Beschreibung von j/-Maßen durch Familien aus j</ Sei m ein ^-Maß und X(-„ я, (ÀeR) die Indikatorfunktion des offenen Intervalles {-oo. Я) (bezüglich R), es ist l, = m{x^.^ ,) aus ja^ und die Familie (/я)дед hat folgende Eigenschaften

( a ) 0^/д^1

( b ) h^l, fur Я^Я