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F A Behrmger

Wicklungssatz lassen sich beide holomorphe Funktionen in eindeutige reihen um den inneren Punkt b von В mit positivem Konvergenzradius entwickeln, und nach dem Identitatssatz fur Potenzreihen sind diese beiden Potenzreihen identisch, da ihre Summen nach obiger Voraussetzung in lich vielen Punkten, die sich in b häufen, übereinstimmen Das heißt, die beiden Funktionen stimmen m b und einer gewissen e-Umgebung von b uberein Es gilt also insbesondere beAcB, womit die Voraussetzung 4) von Satz 1 erfüllt ist

5 ) Unter {Сд} verstehe man die Klasse aller zusammenhangenden und den Punkt b enthaltenden Teilmengen von A, womit Voraussetzung 5) von Satz 1 erfüllt ist

6 ) Unter С verstehe man die Vereinigung aller zusammenhangenden und den Punkt b enthaltenden Teilmengen von A, womit Voraussetzung 6) von Satz 1 erfüllt ist

7 ) Man betrachte irgendein Сд e {Сд} Entweder es ist Сд = {b} oder Сд besteht nach dem oben unter 5) Gesagten aus mehr als einem Punkt Sei zunächst Сд = {b} Dann gibt es nach dem oben unter 4) Gesagten zu jedem хеС^пВ, also zu b als einzig möglichem хеСдпД eine (m В hegende) e-Umgebung (7(x, e) von X, derart, daß U{x, e) С А, also U{x, sjnBcA Und weil U{x, s)nB offensichtlich zusammenhangend ist und den Punkt b enthalt {x = b^), gilt sogar U{x,s)nBcC (es war CcA) Damit ist Voraussetzung 7) von Satz 1 fur den Fall Сд = {b} erfüllt Weiter soll nachgewiesen werden, daß setzung 7) von Satz 1 auch fur den Fall, daß Сд aus mehr als einem Punkt besteht, erfüllt ist

8 ) Сд möge also nun mehr als einen Punkt enthalten Dann kann es als zusammenhangende mehrpunktige Menge bekanntlich keinen isolierten Punkt enthalten Also ist jedes x g Сд Haufungspunkt von Сд Folglich ist auch jedes X G Сд Haufungspunkt von Сд Und schheßlich ist wegen der offensichtlichen Beziehung СдпВс Сд auch jedes^ x g СдпВ Haufungspunkt von Сд

Man betrachte irgendein x g Сд пБ (was offensichthch хеВ nach sich zieht) Bei der hier benutzten Topologie gibt es bekanntlich zu diesem x als punkt von Сд unendhch viele voneinander verschiedene und sich in x häufende Punkte aus Сд(сЛ) Außerdem ist, wie eben festgestellt, xeB Folglich gibt es nach dem oben unter 4) Gesagten, diesmal auf x statt auf b bezogen, eine (in В enthaltene) e-Umgebung (7(x, s) von x derart, daß C/(x, s)cA sichthch ist l/(x, s) zusammenhangend Und da l/(x, e) und die hangende Menge Сд den Punkt x gemein haben, ist bekannthch auch L/(x, е)иСд zusammenhangend Natürlich ist auch U{x, е)иСд Umgebung von x dem gilt wegen Сд С Б und I7(x, s) С В die Beziehung (C/(x, e)u Сд)пВ = l/(x, e) иСд Zudem enthalt (1/(х,в)иСд)пВ offensichthch den Punkt b Also ist nicht nur (l/(x, е)иСд)пБсЛ, sondern sogar ((7(х,е)иСд)пВсС(С^4) Damit ist die Voraussetzung 7) von Satz 1 auch fur den Fall, daß Сд mehr als einen Punkt enthalt, erfüllt

Somit sind sämtliche Voraussetzungen von Satz 1 erfüllt, und es gilt dessen Aussage, daß A = B ist Das heißt m der Ausdrucksweise des zu beweisenden