Vollständige Durchschnitte in Steinschen Mannigfaltigkeiten

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§ 4. Realisierbarkeit gewisser Cohomologieklassen

Ist X eine Steinsche Mannigfaltigkeit der Dimension n, k^^n ganz und ueH^^{X\ Z) gegeben, so gibt es für /c= 1 einen holomorphen Divisor D mit ß{D) = и (vgl. [9,12]) und damit auch eine 1-codimensionale analytische mannigfaltigkeit Y von X mit ß{Y) = u.

Für k> 1 müssen für eine durch eine Untermannigfaltigkeit reaüsierbare Cohomologieklasse и gev^isse topologische Bedingungen erfüllt sein, weise müssen alle Steenrodquadrate Sq^^^^{u) verschwinden (vgl. [4, 26]). Als hinreichende Bedingung sei hier angegeben.

Satz 7. Sei X eine Steinsche Mannigfaltigkeit und ugH^^{X;Z) gegeben. Gibt es ein komplexes k-rangiges Vektorraumbündel V über X, dessen höchste Chernsche Klasse q(K) gleich и ist, so gibt es eine rein k-codimensionale sche Untermannigfaltigkeit Y von X mit ß{Y) = u.

Beweis . Wegen des Okaschen Prinzips (vgl. [11]) gibt es ein holomorphes fc-rangiges Vektorraumbündel W über X, das als stetiges Bündel isomorph zu V ist. Also ist auch Cj,{W) = u.lsts:X^W der Nullschnitt und Wo:= s(X) die Nullschnittfläche von W, so gilt c^iW) = s*{ß{Wo)) (vgl. [13, 25]). Für einen Schnitt /: Z-> Ж sei /"Ч^о) als Nullstellenmenge von / bezeichnet.

Seien /i, ...,/^ holomorphe Schnitte von W über Z, so daß für alle xeX die Elemente /^(x), ...,/Дх) die Faser W^ von W über x erzeugen. Dann gilt für „fast alle" komplexen Zahlen Ai,...,^^, daß Ai/iH------\-Kfr ein morpher Schnitt von W ist, dessen Nullstellenmenge eine rein fe-codimensionale analytische Untermannigfaltigkeit von X ist (vgl. [1], 2.5).

Sei f:X-^W ein solcher Schnitt und Y seine Nullstellenmenge. Da / homotop zu s ist, folgt c^iW) = f*{ß{Wo)) und wegen f'ißiWo)) = ß(Y) (vgl. [6], S. 486) erhält man с^(\¥) = ß{Y) und damit и = ß{Y).

CoroUar 1. Ist X eine 2n-dimensionale Steinsche Mannigfaltigkeit und ue(n— 1)!H^"(X;Z), so gibt es eine rein n-codimensionale analytische Unter- manniфltigkeit Y von X mit ß(Y) = u.

Beweis . Aus [18], Lemma 4.5, kann man folgendes Resultat ableiten: Ist X ein С Ж-Komplex der reellen Dimension ^2nundwe(n- i)\H^\X;Z\

so gibt es ein komplexes n-rangiges Vektorraumbündel V über X mit c„(F) = u. Da X nach [16] vom Homotopietyp eines С Ж-Komplexes der reellen

Dimension ^2n ist, folgt die Behauptung aus dem Satz.

CoroUar 2. Sei X eine 2n-dimensionale Steinsche Mannigfaltigkeit und UEExt{^2n-ii^\^) gegeben. Dann gibt es eine rein n-codimensionale tische Untermannigfaltigkeit Y von X mit ß{Y) = u.

Beweis . Ist mg Ext(S2n-iW»^)> so ist и nach Lemma 1 divisibel, also insbesondere durch (n - 1) ! teilbar. Daher folgt die Behauptung aus CoroUar 1. CoroUar 2 ist das Analogon zu einem Resultat von K. Stein [23].