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H . Reckziegel

Nach dieser Überlegung stellt (Ri3) also eine Zusammenfassung der Gleichungen (G), (C-M) und (G') dar.

43 . Der Fall codimiV=l. Da in dieser speziellen Situation Rang v{N) = 1 ist, existiert nach Aussage 1 für v{N) genau eine kovariante Ableitung Д die bezüglich g metrisch ist. Nach Aussage 6 stehen deshalb in diesem Fall die metrischen, torsionsfreien kovarianten Ableitungen V und die symmetrischen, bilinearen Morphismen oc'.TN Xj^TN-^v{N) in eineindeutiger Korrespondenz. Lokal lassen sich diese Morphismen nun durch Bihnearformen ausdrücken: Ist ^o ein Schnitt in v(N) über einer Umgebung UCNmt Шо^ ^o) = U so istjx = h'U wenn wir mit h die symmetrische Bilinearform (X, ¥)\->д{(х(Х,П ^oX ^(^^1 ^) X r{TN\U)-^j^iU) bezeichnen. Wegen Dxi = {X' g{i, ^o)) ' io für alle ^ € r{v(N)\ U) (vgl. 1.2.) erhält damit die Gleichung von Codazzi-Mainardi die bekannte lokale Darstellung

^^X , Y ) - Z^o ) - ( hh ) iY , Z ) - - ( vyh ) { X , Z ) , (C-M)

Da schließlich in der Gleichung (G') beide Seiten alternierende Formen in den Variablen ^, rj sind, verschwinden beide Seiten wegen Rang v(iV) = 1, so daß (GO trivialerweise erfüllt ist. Damit ist die kovariante Ableitung D völKg aus der Betrachtung eUminiert, und wir erhalten die folgende Spezialisierung des Satzes aus 2.2.

Satz . £5 sei N eine Hyperfläche einer Manniфltigkeit M, g eine Riemannsche Metrik für TM\N, v{N) das orthogonale Komplement von TN in TM\N bezüglich g, oi ein symmetrischer, bilinearer Morphismus TN Xf.TN'^viN) und R ein Schnitt in dem VB A\t\TM;^TM;TM))\N, welcher die Symmetrieeigenschaften (Ri4) besitzt und welcher mit g und a durch die beiden Gleichungen (G) und (C-M) verknüpft ist. Dann existiert eine Riemannsche Metrik auf M, die über N g und R induziert und bezüglich der a die zweite Fundamentalform von N ist.

Die kovariante Ableitung D für v{N) und die Gleichung (G') sind in der klassischen Differentialgeometrie weitgehend unbekannt. Das liegt wohl daran, daß man sich dort im wesentlichen auf die Betrachtung von Hyperflächen beschränkt. Will man aber auch den Fall „dünnerer" Untermannigfaltigkeiten in die Untersuchung einbeziehen, so erscheinen die Ableitung D und die Gleichung (G') doch als wesentliche Elemente; vgl. [3], Abschnitt 4.7.

Der Abschnitt 4.2. zeigt deutUch, weshalb in dieser Arbeit nicht die zweite Fundamentalform a, sondern die kovariante Ableitung F in den Vorder^und gestellt wurde: Erstens gelangt man dadurch zu einer einfachen Zusammenfassung der drei komplizierten Gleichungen (G),