Math . Ann. 217, 201—210 (1975) — © by Springer-Verlag 1975

Oresche Teilmengen in Einhüllenden Algebren

Walter Borho und Rudolf Rentschier

Einleitung

Sei g eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper k, und sei и = U{q) ihre Einhüllende Algebra. Obwohl diese Algebra nicht-kommutativ ist, kann man sie nach multiplikativen Teilmengen S „lokalisieren", d. h. man kann für (7(g) eine „Bruchrechnung" mit Nennern aus S einführen. Damit man eine zum kommutativen Fall analoge Bruchrechnung erhält, muß die menge S nach Ore einer gewissen Bedingung genügen, die unter anderem stellt, daß man Brüche mit verschiedenen Nennern gleichnamig machen kann und daß man alle „Rechtsbrüche" us~^ auch als „Linksbrüche" t~^v schreiben kann (siehe § 1). Die Lokalisierung S~^U nach einer solchen Oreschen Teilmenge S hat unter anderem folgende wichtige Eigenschaft (Goldie-Michler): Die Menge SpecS'^U der Primideale von S~^U liegt kanonisch eingebettet in der Menge Spec и der Primideale von U, nämhch vermöge P\-^PnU. Die Bildmenge besteht aus denjenigen Primidealen von (7, die mit S leeren Durchschnitt haben [3; 2.10].

Dieser Sachverhalt macht die Oreschen Teilmengen zu einem wichtigen mittel beim Studium des Primspektrums von 17(g). Für auflösbares g (und Char/c = 0) kann man dieses Primspektrum inzwischen vollständig beschreiben (bis auf die Topologie) [1, 3, 5]. Oresche Teilmengen sind dabei nützlich und leicht zu finden [3; 4.4]. Außerdem ist hier die Abbildung Spec U{q)-^Spec U{q\ /h->/n (7(g'), für Ideale g' von g sehr aufschlußreich. Für einfache Lie-Algebren g entfallt die letzte Methode natürlich.

In einer demnächst erscheinenden erschöpfenden Abhandlung über den Fall g = б1з(<С) erzielt Dixmier [2] aber mit Hilfe Orescher Teilmengen gute Resultate. Er lokalisiert darin nach den Potenzen eines Wurzelvektors und (an anderer Stelle) nach den Elementen ФО der Einhüllenden einer parabolischen algebra und hat dafür jeweils die Oresche Bedingung zu verifizieren, was explizite Rechnungen erfordert.

In der vorliegenden Note soll für zukünftige Arbeiten ein „ausreichender Vorrat" an Oreschen Teilmengen in U{q) bereitgestellt werden. Insbesondere wird gezeigt, daß ganz allgemein die Elemente ФО der Einhüllenden einer algebra l) von g eine Oresche Teilmenge von L/(g) bilden (3.3).

Operiert 1^ nilpotent auf g, so kann man viel mehr sagen: Jede Oresche menge von 1/(1)) ist dann automatisch auch Oresch in C/(g) (4.5). Insbesondere bilden die Potenzen eines einzigen nilpotenten Elementes хФО von g stets eine Oresche Teilmenge (^ = fex; vgl. 1.6). Den genannten Beispielen von Dixmier liegen demnach allgemeine Tatsachen zugrunde. - Wenn 1^ nicht nilpotent, aber hin noch trigonalisierbar auf g operiert, muß die Teilmenge S von 1/(1)) außer der Oreschen Bedingung in (7(1)) noch einer weiteren Bedingung genügen, damit man schließen kann, daß S auch Oresch in U(g) ist: Sie muß stabil unter gewissen