Math Ann 222, 63—69 (1976) © by Springer-Verlag 1976

A propos des revêtements ramifiés d'espaces de Stein

p . Le Barz

Département de Mathématiques, Université de Nice, Parc Valrose, F-06034 Nice Cedex, France

Définition î. Soit X et Z deux espaces analytiques de même dimension. Un mor- phisme n'.Z-^X est un revêtement ramifié si pour tout xgX, il existe un voisinage и tel que pour toute composante connexe Wàtn~^{U)

n\W : W - ^U

soit un morphisme fini. (Cest-à-dire propre, à fibres finies.)

On sait (Stem [8]) si X est un espace de Stein et n:Z-^X un revêtement localement trivial, que Z est aussi de Stein. On se propose ici de montrer la généralisation suivante :

Théorème 1. Soit w.Z-^X un revêtement ramifié. Si X est de Stein, Z est aussi de Stein.

La démonstration utilise la solution du problème de Levi donnée par Grauert [2] et Narasimhan [4].

On obtient alors sans difficulté du théorème 1 le corollaire:

Corollaire . Soit F un espace (de Stein) et G un groupe discret agissant proprement discontinûment sur F, tel que F/G soit de Stein. Alors toute fibration E holomorphe de fibre F, de groupe structural G et de base S de Stein, est elle-même de Stein.

Je tiens à remercier chaleureusement le referee pour son aide essentielle c'est grâce a sa critique et ses suggestions que j'ai pu améliorer une version antérieure plus faible de ce travail Je tiens également a remercier A Hirschowitz pour son aide constante et les nombreuses suggestions qu'il m'a formulées

1° )

Pour les besoins de la démonstration, on va généraliser la notion de revêtement ramifié. Nous donnons les définitions :

Définition 2. Soit X et Z deux espaces analytiques. On dit que n:Z-^X est un morphisme semi-fini (SF) si Z est somme disjointe d'espaces {W")^^^ avec 7c|P^^: W'^-^X morphisme fini.

( On n'exige pas que Z et X aient la même dimension.)