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и Schirmeier

stimmen genau dann mit den global definierten harmonischen Funktionen auf X uberein, wenn Ж die Konstanten enthalt

Ist namlich \p eine harmonische Abbildung im Sinne unserer Definition, so ist nach (3) die Funktion ip = idotpeJf(X), sowie \ = \о\реЖ{Х)

Sei umgekehrt \p eine global definierte harmonische Funktion auf X Jede hyperharmonische Funktion йфоо auf einem offenen Intervall (7 С Rist Infimum einer Familie (/iJ^^j von affin-linearen Funktionen auf Ù Falls nun Ж die stanten enthalt, ist fur jedes ael dann Ä^otp|^ \m^^{w ^Ф)\ dh

ael

Dies bedeutet gerade, daß ip eine harmonische Abbildung ist

Wir gehen nun aus von einem Kegelepimorphismus cp zwischen den Kegeln ^ und ^"^ aller stetigen, reellwertigen Potentiale zweier a-kompakter, "»P-har- momscher Räume (X, ^*) und (Z, ^*) mit le^' und (p{l)= 1

Die gesuchte, zu cp gehörige Einbettungsabbildung xp X^X [dh ip soll mit (p durch die Eigenschaft (p{p) = poy) fur alle Potentiale pe^ verknüpft sein] wird sich als Restriktion der transponierten Abbildung

auf den Zustandsraum e(X) ={s^ Je eX} herausstellen Dabei bezeichnet F bzw F den Ordnungsdualraum von Ф'^ — Ф^ bzw von 0^^ — 0^''

Zum Nachweis, daß (/>* die Menge e(X) m die entsprechende Menge e(X) abbildet, wird die Theorie der adaptierten Räume herangezogen Es gilt namlich das

( 1 6) Lemma. E =^^ —^^ ist ein adaptierter Raum [vgl [4] Definition p 4]

Beweis Die Behauptung folgt leicht aus der a-Kompaktheit und *^-Harmonizitat des Raumes (X, Ж*) mit [6] Proposition 2 2 4

Nach Bemerkung (1 2 2) ist £ mit der naturhchen Ordnung ein Vektor verband Auf E sind alle Funktionale der Form ß e^ mit xeX, ßeJR^ lineare homomorphismen Mit Hilfe von (1 6) laßt sich umgekehrt zeigen

( 1 7) Lemma. Zu jedem linearen Verbandshomomorphismus 4=0

Я ^^-^^->IR existiert genau ein ß>0 und genau einxeX mit A = ß s^

Beweis Nach [8] Theorem 181 hegt jeder von Null verschiedene homomorphismus Я ^'' —^"^-^IR auf einem Extremalstrahl des positiven Kegels des Dualraumes {0''-^%, wegen (1 6) und [4] Proposition 3, ist ^ dann aber von der Form A = ß г^ mit jß>0 und xeX Dsi die Funktionen in ^ die Punkte von X verschrankt trennen, folgt die Eindeutigkeit der Darstellung von Я

( 1 8) Lemma. Ist pe^^ strikt positiv, so auch (p{p)

Beweis Nach (1 7) ist ein Potential pe^ genau dann strikt positiv, wenn fur jeden von Null verschiedenen linearen Verbandshomomorphismus Я ^^ —^^->1R der Wert Я(р)>0 ist