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J . Chaumat et A.-M. ChoUet

De là on déduit, comme dans la preuve de la proposition 27, que, pour tout entier p et tout entier t, il existe une fonction Xp,t ^^ classe C^ sur Ш et vérifiant, pour tout entier k,

( a ) x^p^iO) = 6,,p et

On utilise maintenant la proposition 24 et plus précisément (24.13), avec C, = —, C2 = (t H-1) ^ et C3 = 1. On obtient, pour tout entier p, p ^ 1, et tout entier t.

1 / 1 \ ^

Ж2 + Г0 ^ Шр

t + 1 rripj

De là, d'après (29.1) et puisque t est arbitraire, on déduit que lim m„ У) -—- = 0, ce qui montre que les deux suites {M^j^^q et {МД^^о sont fortement associées.

Vn Résultats et commentaires

En conclusion on a montré les deux théorèmes suivantes.

30 Théorème. Soit {Mp}p>Q une suite à croissance modérée et {Mp}p>Q une suite non quasi-analytique. On suppose que Von a

Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

( b ) toute suite de Сщ{р\М^^} est le jet en 0 d'une fonction de classe C^ sur E appartenant à С{р\мС};

( c ) pour tout sous-ensemble compact E de M", tout jet de Whitney sur E de C^{p\Mj} est le jet sur E d'une fonction de classe C^ sur W^ à support compact et appartenant à C{p\Mp};

( d ) toute suite de Вщ{р\Мр} est le jet en 0 d'une fonction de classe C^ sur M appartenant à B{p\M'^};

( e ) Pour tout sous-ensemble compact E de Ж", tout jet de Whitney sur E de Bß{p\Mj}est le jet sur E d'une fonction de classe C^ sur K" à support compact et appartenant à B{p\Mp},

31 Théorème. Soient {M^y^^Q une suite à croissance modérée et {Mp}p>o une suite non quasianalytique. On suppose que l'on a

Hm 1-;^ 1 =0.

p—► + ( »