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W . Gubler

Z^iX ) (bzw. CHP(X)) ist entsprechend definiert, wobei die Dimension durch die Kodimension p ersetzt wird, und es wird im folgenden jeweils die besser geeignete Graduierung verwendet. Mit Z^{X) (bzw. Z*(X)) wird die direkte Summe aller Z^(X) (bzw. Z^{X)) bezeichnet. Falls auf die Graduierung keinen Wert gelegt wird, so schreibt man einfach Z{X). Diese Notation wird sinngemäß auch bei den anderen Gruppen aus der obigen Liste benützt. СЯд^(Х) ist der Quotient, welcher entsteht, wenn man nur vertikale Zyklen und rationale Funktionen auf vertikalen Zyklen zuläßt. Jeder Zyklus Z G Z^{X) definiert einen Strom 6^ e Dp^p(X) durch

für alle (n ~ p, n — p)-Formen rj. Im folgenden wird A^'^iX) als Teilmenge von jD^'^(X) angesehen, indem man ш G A^'^iX) mit demjenigen Strom identifiziert der eine (n — p^ n — p)-Form r] auf J rj A uj abbildet. Falls g ein Strom ist, dann bezeichnet g Auj denjenigen Strom, der einer Differentialform r/ das Bild g(üü Л r/) zuordnet. Femer seien d, 9, д und d^ die üblichen Differentialoperatoren auf den Strömen, welche durch die komplexe Struktur gegeben sind (vgl. [GH]).

1 . 1 Definition. Ein Greenscher Strom zu Z G Z^iX) ist ein Element g aus 2)Р-1,Р-1(Х) mit dd'^g + ö^ G ^^'^(X). Diese Differentialform wird mit üü{Z,g) bezeichnet.

1 . 2 Beispiel. [GSI, 2.5] Sei 5f eine invertierbare Garbe und || || eine F^-invariante hermitesche Metrik auf dem von ^ induzierten komplexen Geradenbündel L auf X^.

Die Menge der Isometrieklassen dieser Paare (^, || ||) wird mit Pic(X) bezeichnet. Statt (=^,11 II) wird im folgenden meistens die kürzere Notation % gebraucht und auch die Klasse in Pic(X) wird so bezeichnet. Für einen regulären теготофЬеп Schnitt s gilt nach der Formel von Poicaré-Lelong

dd4og\\s\\ - ^ = c,{L,\\ ||)-éd,v(.),

wobei auf der linken Seite s als теготофЬег Schnitt von L angesehen wird, der eine integrierbare Funktion log \\s\\~^ und somit ein Element aus D^'^{X) definiert. Dies zeigt, daß log \\s\\~'^ ein Greenscher Strom zu div(s) ist.

1 . 3 Beispiel. Allgemeiner sei Z ein Primzyklus von X und s ein regulärer тофЬег Schnitt der Restriktion 56 |^ von =Sf auf Z, dann ist der Strom log ||s||"^ gegeben durch die Vorschrift

\og\\s\\~^ { r ] ) \= \og\\s\\~~^ Arj

Zoo

für alle Differentialformen ry. Es gilt die Gleichung

dd'log\\s\\ - ' = êzAc,{L,\\ II)-V.)-

Wählt man jetzt ^ = ^ mit der trivialen Metrik, dann ist / = s eine nale Funktion auf Z, log|/|~^ ist ein Greenscher Strom zu div(/) und das Paar (div(/),log |/|~^) wird mit div(/) bezeichnet. Sei

ZP ( X ) := {(Z,g) G Z^iX) x D^-^^p-^X) \ g Greenscher Strom zu Z}/ {ВМ(д) -f Bild(â))