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W . Gubler

lineare Funktional kann identifiziert werden mit einem globalen Schnitt von <^^n(l). Es gilt dann nach Proposition 4.3 und mit der Notation aus 2.3

/

h ( Z ) = h(6iw(s).Z)-—^^ I log||s||c^ (3)

Zuerst wollen wir nun div(s).Z - Y berechnen. Es ist klar, daß dieser Zyklus gleich den vertikalen Komponenten von div(s).Z ist. Sei R der Bewertungsring einer nichtarchimedischen Stelle v aus Mj^. Nach einem Satz aus der Elementarteilertheorie findet man eine Basis 6q, ..., 6^ von V П R^^^ so, daß ^o^ • • • ' ^t-i ^^"^ Basis von W П jR^"^^ ist. In der Notation wird unterschlagen, daß diese Basis von der Stelle v abhängt. Bezeichnen wir mit k(v) den Residuenköфer von v, dann sind die Bilder 6q, ... ,6^ unter der Reduktionsabbildung R^^^ -^ k(v)'^'^^ eine Basis des Bildes V von V. Die Faser von Z über der Stelle v ist gerade gleich F(V) С P^^^^. Ebenso gilt Yjçç^^ = F{W) und W besitzt die Basis 6q, ..., 6^_i. Damit schließen wir

\P \ — \P 1—1 (4.^

Die Multiplizität von Z^.^^^ in div(s).Z ist gleich der Ordnung von s{b^) im diskreten Bewertungsring R. Die Proposition 6.2 und (1.10) zeigen, daß die Höhe von Z^.^^^

gleich -———- log #k{v) ist. Zusammen ergibt sich die Formel

h { Y ) - hidivisyZ) = ——- Y, log Isi^ll""^ ^^^, (5)

[ K :

—— - > log \s(b.)\

wobei V alle nichtarchimedischen Stellen von Mj^ durchläuft. Wir schreiten nun zur Berechnung des Integrals in (3). Mit Hilfe von [St, Lemma 2.1] findet man

I \og\\x,\\cT ^ ~\J2] ■ (6)

Sei CT eine Einbettung von К in С und v der zugehörige archimedische Betrag. Es existiert eine orthonormale Basis 6q, ..., 6^ von V <^^ С derart, daß feg? • • • ^ ^t-i i^i VF (g)^ С liegt. Wegen der U{n + 1, C)-Invarianz der Chemform Cj ist die Gleichung

I \og\\s\\c\=\og\s{b,)l-^-J2j (7)

eine Folgerung von (6) und Proposition 3.6. Als Zwischenresultat aus (3), (5) und (7) halten wir

h ( F { V ) ) - h(¥(W)) = -

1 V^ 1 I /L ^\[^vQv]

[ K :Q] '^ ^' * '^ 2^-^ 7

fest . Unabhängig von der Wahl einer Stelle fixieren wir jetzt eine Basis ag,... ,a^ von V mit der Eigenschaft %,..., a^_i G W. Man hat die Darstellung

t

k=0