136 13. PlücTcer, neue Art^ Puncte und Curven durch Gleichungen auszudrücken.

unmittelbar bewiesenen Sätze und Construetionen, und aus No. 58. noch einige neue»

Es kann aber auch die gegebene Curve irgend eine beliebige sein und eine Parabel verlangt werden. Dies kommt alsdann darauf hinaus, in den vorstehenden Constructionen statt einer gegebenen zu berührenden geraden Linie eine unendlich weit entfernt liegende zu nehmen. Wir len zwei Aufgaben hier hervorheben.

Eine Parabel zu beschreiben, die einen gegebenen gelschnitt in einem gegebenen P.uncte osculirt und dies eine gegebene gerade Linie berührt.

Construction . Es sei OM (Eig. 11.) die gegebene Curve, die in О osculirt werden soll; с S die gegebene gerade Linie, die der Tangente im Osculationspuncte in с begegne. Man ziehe die Tangenten cS^ und c* S^y letztere parallel mit der Tangente im Osculationspimcte, ziehe З^Ф parallel mit cS^ wodurch auf Oc der Punct Ф bestimmt wird. Legt man durch Ф eine zweite Tangente an die gegebene Curve, so berührt dieselbe auch die zu beschreibende Parabel. Den Berührungspunct P auf с S hält man, indem man N^ den Berührungspunct auf cS^ mit Ф durch eine gerade Linie verbindet.

Eine Parabel zu beschreiben, die einen gegebenen gelschnitt in einem gegebenen Puncte osculirt und überdies durch irgend einen gegebenen Punct geht.

Construction . Es sei 0 (Fig. 12.) der Osculationspunct und M der gegebene Punct. Man ziehe, parallel mit der Tangente in О und durch M eine gerade Linie, die der gegebenen Curve im Allgemeinen in zwei Pmicten begegnen wird; man lege in diesen Puncten zwei ten an die gegebene Curve, und verbinde diejenigen beiden Puncte, in chen diese beiden Tangenten die Tangente in 0 schneiden, durch zwei gerade Linien mit dem Puncte Ж Diese beiden geraden Linien TM und T^M berühren alsdann diejenigen beiden Parabeln, die den Forderungen der Aufgabe Genüge leisten, in dem gegebenen Pimcte.

60 . Wenn wir ein System von zwei Puncten mit zwei sich pelt berührenden Curven zusammenstellen, so етЫМеа wir folgende beiden Satze.

Wenn man von irgend zwei Puncten der beiden schaftlichen Tangenten zweier sich doppelt berührender Ke-