te . Steiner s sur le maximum et le minimum dès figures» 235

Lorsqu'on égale les volumes de ces corps, г; =:г?1 = г?2? on as s^ :s =z s^ : si ou s^ = s^sl*^

#^ : ^ = v^4 2 /"3 et s:s^ =: /^4-1^3 j ou äJ:ä«:5^ = 64:3() :27; on a encore:

? i - e = f^l ^« ?' = ei?^;

ç^ : ^ = /"3 : /'4 et g> : ç^ = /3 : /*4, ou ÇÎ : Ç' : e' = 2^ • 48 : 64. Lorsqu'on égale les surfaces, ^ = ^^ = ^2; on a:

v^iv =: v'^ :vl et ^^ : ^ = ç^ : çl ; г?^ : г;^ : r^ = ^t-t^t = 27 :48 : 64. Lorsqu'enfîn on égale les rayons des sphères inscrites, ç = ^i = g'2? on a:

v^ : v = v'^ i vl et s^is = «^ : ^^ 5 vl : г?^ : vi — s] : s^ : 5^ = 64 : 36 :27. Du nombre des corps par rapport auxquels ces relations ont lieu, nous citons les' suivants qui se présentent fréquemment: l"" l'hexaèdre, la pyramide quadrilatérale et l'octaèdre; 2"" le cylindre, le cône et le cône double.

Remarque générale*

G4 . Les propositions énoncées sur les corps prismatiques et midaux ne doivent être regardées que comme un commencement des cherches sur les polyèdres en général. Môme par rapport à ces deux espèces de corps il y a encore beaucoup de questions à résoudre. Je veux en indiquer quelques unes, et ajouter pour plusieurs d'entre elles les jectures que j'ai formées à leur égard.

I . Comment peut-on démontrer, que le prisme de /г côtés, décrit au n° 32, I., est plus grand que tout autre polyèdre de la même espèce (c'est à dire que tout polyèdre limité par deux polygones de 7i côtés posés l'un à l'autre, et par w quadrilatères), la surface étant donnée? — Démontrer p. e. 1° que le prisme triangulaire qui satisfait aux conditions (32, I.) est plus grand qu'une pyramide triangulaire quelconque tronquée obliquement, dont la surface est équivalente à celle du prisme; 2"* que le cube est plus grand que tout autre corps limité par six quadrilatères de surface équivalente.