244 ^e» Steiner, sur le maximum et le minimum des figures.

précédent (n'' 68) est équivalent en volumie au polyèdre /il, et a un face plus petite. Il est évident qu'en général le nombre des sommets et des faces de K^ sera plus grand que celui de K, car chaque droite qui passe par Tinlérieur de К augmentera le nombre des sommets d'une unité, et le nombre des surfaces au moins de deux unités, à la seule exception du cas où la droite en question passe par deux sommets. — D'après cette construction on pourrait supposer que toutes les faces de K^ sont des triangles; observons donc que deux ou un plus grand nombre de ces faces peuvent être situées dans le même plan, et se réunir par là en un gone de quatre, ou même d'un plus grand nombre de côtés.

Par le même procédé le polyèdre K^ peut être transformé à l'aide d'un nouveau plan arbitraire Y en un autre polyèdre K2, équivalent en volume, de surface plus petite, d'un nombre plus grand de sommets et de faces, et symétrique par rapport au plan Y. Ce polyèdre K^ peut être transformé en un autre polyèdre K^^ équivalent en volume, de surface plus petite, d'un nombre plus grand de sommets et de faces, et symétrique par rapport à un nouveau plan Z; et ainsi de suite.

Si en particulier le second plan Y est perpendiculaire au premier plan X, le troisième polygone JEj est symétrique par rapport aux deux plans à la fois; il a donc l'intersection z des deux plans pour axe de métrie; c'est à dire, chaque droite ab perpendiculaire à z^ qui rencontre la surface du corps dans les points a et é, est divisée par Taxe z en deux parties égales. Si le troisième plan Z est perpendiculaire aux deux plans X et Y, ou bien à Taxe z, le quatrième polyèdre K^ est symétrique par rapport aux trois plans à la fois; il a donc les trois lignes d'intersection Zy y, X Ae ces trois plans pour axes de symétrie, et leur point section С pour centre* Si l'on continue encore la transformation du lyèdre Щ, chacun des nouveaux polyèdres K^^ K^j .... a un centre.

Comme par ces transformations réitérées le nombre des sommets et celui des faces augmentent et que l'aire de la surface totale diminue jours, toutes les faces peuvent devenir très petites, et la surface totale s'approche indéfiniment d'une surface courbe. Réciproquement on peut garder la surface d'un corps quelconque К à surface courbe et convexe, comme composée d'éléments plans infiniment petits; le corps К peut par conséquent être transformé en un autre corps symétrique Ki, équivalent en volume et de plus petite surface ; etc.