3 . Hill, de aequat. different.

43

4 ) Patet vero, similem ratiocinationem ad surdas cujuscunque gradns extendi posse. Sitnempe universim ;s = n^t? = nü + iiit?-4-%^^ + »«*- + ^n«^'* integrale aequationis dz = P.Bz, exsistente v radice uteunque composita

X y

( vel ex radicibus potentiatibus vel ex functionibus aliis aut algebraicis aut transcendentibus, quae solutionem cossicam efficinnt) aequationis

M^^v = 0 seu mo-f-mit? + »i2î?^ + *--» + ^^m^'^ = 0, quae in JP conspicua non sit, eritque dîfferentiando

dziBz = ö{n4)xB{ri'v).

X y X y

Reductione vero rite effecta ope aequationis iH^^г; = 0, haec ratio inJPmu- tabitur, ideoque ipso v carebit. Patet vero, universim eadem reductione adhibîta B{n^^v^\B(vt^v^ in P niutari, existente v^ alterutra quaeeunque

X y

radicum aequationis М^«;=:0. Erit igitur necessario

Birù'v , ) iBivPv,) ^ P ^ Bzi Bz,

X y X y

ideoque integrando n^^Vi = CÇ)iz; et si reliquae radices sunt t?2, Гз, .••. v^j erit similiter п'^г^з = ^2^>. ^^^^^з = Фз^^ •••• ^^^^m = Фт^- Has igitur aequationes addendo, obtinebimus

seu breviter '2^{n^^v) = '2(pz=:Фz. Est vero S(n^t?) functio symmetrica radicum v^^ г^з, •••• v^ aequationis -M^t? = 0, ideoque ejus valor obtinetur rationaliter in coëfficientibus m^), т^^ .... m^ et Wo, n^, .... /i„, isque = 0^ seu const, erit.

Demonstravimus igitur ita brevissime hoc Theorema maximi momenti:

Theor . HI. Si z = n^^v integrale fuerit aequationis differentialis

dz = P.BZf seu hujus dy-\^Pdx = 0, fueritque v radix aequationis

X y

M^v = 0 Ш ipso P non conspicua, atque n^v functio quaeeunque dum V rationalis, (vel intégra, vel etiam fräcta, quae semper per istam aequationem ad integrum revocatur); semper dabitur ejusmodi functio

X , = Ba+2B^{cp), Го = Ba-{^2B{pc),

X^ = 2(с07 + 3(/Эс+еЭр + 2/?Э6> Y^ = 2cBq + 5qBc'^b8p + 2p8bj,

X X X X у у у у

X , = b8q + 3q8b^pda et Г, = bBq + Sqdb^pÔa;

л ; { Äl - ^3qr , Y,+3pr, Г,) +Л, {3qn - Г, ГУ+Ж,{Г{-Г, Г,-ЗрГ1)=0, ХЛЗ^ rî-3^ Го Г.-З;, F, Г,) + Л^^

+ ^2(-Г, Г,+3(/Г2) =^ 0.

6 ''^^