112 6. Joachimsthal^ über die Bedingung der Integrabilität

Statt wie hier die Integrabilitätsbedingungen aus der EulersiAxen mel abzuleiten, kann man sie auch direct finden; was wir nicht weiter führen.

Zusatz zu dieser Abhandlung,

§ . 8.

Der Verfasser benutzt die Gelegenheit, die Entwicklungen des letzten Paragraphs noch auf eine übersichtlichere Weise darzustellen.

Es sei (a,ß) eine von den beiden Indices a und ß abhängige Grösse^ welche der Gleichung

( 18 ) /((a,/3)) = (a./5+l) + (<x + l. Д genügt, wo y das Functionszeichen bedeutet. Bezeichnet man^(/((2;)) mit/\z) u. s. w., und ist /(jLi+i^) :=zf{u) '•{r f{y\ SO wird

/ 2 ( а , ^ ) = ( а , / 3 - ь2 ) + 2 ( а + 1,/3+1) + (а + 2,/3)

/ 3 ( a , / 3 ) = ( a , / 3 + 3 ) + 3(a + l,^ + 2)+3(a+2,/3 + l) + (a + 3,/S)

und allgemein

{ 19 ) f^\a,ß)={a,ß+rn)+m^{a+l^^

In dieser Formel, deren Beweis ich übergehe, stellen m^, m^ u. s. w. die Bi-

. 1 Г/- • ^ ш(т—1) 1 I T^« г 1 1 •

nomialcoethcienten у ? —Y2— "' ^' ^* ^^^^ ^^ ^^ Einiachheit wegen ist, wie

auch ferner geschehen soll, /'"(oo,/5) statt У'"((а,/?;) geschrieben.

Die Grössen (a, ß) haben die Eigenschaft, dass gewisse Summen selben, für welche a+ß einen constanten Werth hat, sich einfach darstellen lassen; z.B. die folgende Summe:

( 0 , m4hl ) + (l,m) + (2,m—l) + .... + (m—1,2) + (ш,1), oder die scheinbar allgemeinere:

( a , / S - bm ) + (a+l,/3+m —l)-h(a+2,^+m—2) + ....+(a-bm,/3).

Für den Zweck dieser Erläuterungen genügt es, die erstere zu untersuchen.

Ich erinnere, um später nicht unterbrechen zu müssen, an die Formel

( 29 ) /71, —z;(m—l),Hh4(^—2), —.... = 1; m>l

Man erhält dieselbe, wenn man die Coefficienten von Xi in den identischen

Ausdrücken