202 ^« Hesse y Auflösung von algebraischen Gleichungen vom Bien Grade*

§ . 3.

Das Problem der Wendepuncte einer Curve dritter Ordnung, welches darin besteht, diejenigen Werlhe der Variabein zu bestimmen, welche zweien gegebenen, von einander abhängigen Gleichungen dritten Grades mit zwei Variabein zu gleicher Zeit genügen, führt, wenn man eine Variable eliminirt, auf eine Gleichung 9ten Grades mit einer Unbekannten, deren Wurzeln selbe Eigenschaft haben, welche ich zwischen den Wurzeln der im gehenden behandelten Gleichung (1.) annahm*). Dieses werde ich im den nachweisen, indem ich mit der Ableitung der Gleichungen den Anfang mache, welche die Wendepuncte einer Curve nter Ordnung bestimmen.

Wenn TT eine beliebige ganze homogene Function zweier Variabein Д7, y vom Wien Grade bedeutet, so ist U = 0 eine beliebige Gleichung

nien Grades in Rücksicht auf die Unbekannte —. Als Bedingung, dafs diese

Gleichung drei gleiche Wurzeln habe, pflegt man die drei Gleichungen zugeben :

t7=0 i^=0 ^^-0

welche für die gleiche Wurzel zugleich erfüllt werden müssen. Diese Gleichungen sind respective vom n, n—1 und (w—2)ten Grade. Man kann jedoch an ihrer Stelle drei Gleichungen vom (n—2)ten Grade substituiren, welche ganz Dasselbe leisten. Denn erwägt man, dafs die angegebenen Gleichungen sich auch so darstellen lassen:

du __ _i_( 0^1 . d^U] __ ^ dx ~ n—i r ' dx^ +^ ' dxdyl ~ '

dx''

= 0,

^^ Aus einem vom Januar 1844 aus Rom datirten Schreiben des Herrn Professor Jaeobij dem ich die ersten Resultate meiner Untersuchung über die Wendepuncte mit- gelhcilt hatte, hebe ich folgende Stelle heraus. „Sie werden wahrscheinlich auch das „allgemeine Problem lösen können: eine Gleichung 9ten Grades aufzulösen, wenn eine „gegebene rationale symmetrische Function F(r^ x^ je zweier Wurzeln х,х^ immer wie- „der eine dritte Wurzel giebt, in der Art, dafs wenn F{a;jx'}^s", auch F{â:^^a^^^)^Xy „F(y^ x) = x^ ist. Denn dieses ist hier bei den Gleichungen der Wendepuncte der Curven „dritter Ordnung der Fall. Es wurde sich so eine neue Classe von auflÔsbai'en alge- „braischeu Gleichungen eröffnen, welche von deften, auf die AhelAiQ Guufssche Methode „ausgedehnt hat, total verschieden sind." Auf diese Andeutung hin habe ich die liegende ürftersuchung der Gleichung Шеп Grades unternommen.