2É . Sehellbach, Probleme der Variationsrechnung. 325

demselben Puncto, so ist bekanntlich

qDC = ВС und r.DF = BF ^ ВС,

daher

Q == rcosö.

Diesen bekannten Satz, dessen Beweis hier nur der Vollständigkeit wegen angedeutet worden ist, hat Mindiny in einem der früheren Bände dieses Journals auf ähnliche Art bewiesen. Vergleicht man nun (4.) mit (3.), so ergiebt sich, dafs der Faden dann ein gröfstes oder kleinstes Stück der fläche begrenzt, wenn er, auf die stetige Folge der Berührungsflächen wickelt, die Gestalt eines Kreises annimmt: denn der Krümmungshalbmesser r der abgewickelten ebenen Curve nimmt in diesem Falle den constanten Werth Я an. Delaunay hat diesen Satz im Sten Bande des Liouvilleschen Journals auf eine weniger anschauliche Weise ausgesprochen und ihn durch ziemlich verwickelte Rechnungen bewiesen. Auch schon früher ist der Satz in diesem Journale von einem andern Mathematiker bewiesen worden; die von mir führte Rechnung unterscheidet sich von der dortigen hauptsächlich nur durch gröfsere Symmetrie.

§ . 18.

Aufgabe . Unter denselben Bedingungen, wie in der vorigen Aufgabe, soll jetzt der Faden eine solche Gestalt annehmen, dafs der Körperraurn^ welcher zwischen dem oben beschriebenen Flächenstück und seiner senkrechten Projection auf die Ebene der ^97 enthalten ist, ein Maximum oder Mini-- mum wird.

Auflösung . Stellt jetzt fi^^ri) die Ordinate Ç der Oberfläche dar,

S^ff { ^y'ri ) dri das Volumen, welches ein

ЛГо 0

Maximum oder Minimum werden soll. Man erhält also, ohne neue nung, wenn z statt /*(^с^ ^) geschrieben wird, aus (1.) im vorigen Paragraphen die Gleichung

du p, __^ , f^^f) ^ ^ P) ^^\

dz ^ \dx ds dz двУ^

welche zur Lösung des Problems hinreicht. Wenn z. B. die Fläche ^1 = 0 ein Umdrehungs'-Ellipsoid ist, so läfst sich alles Erforderliche durch draturen bestimmen. Eine Ausführung dieser Rechnungen bietet indessen kein

Crelle's Journal f. d. M. Bd.XLI. Heft 4. 44