2 . ' Dedehindy IrreducUbilität der Kreistheilungs-Gleichungen. 29

oder später einmal ein Glied a** kommen mufs, welches = a ist; daraus folgt aber r"* ^ 1 (mod.m), und es ist daher r relative Primzahl gegen m, und folglich aJ' ebenfalls eine primitive m*® Wurzel der Einheit.

Ungleich schwieriger ist der Nachweis des ersten Theils, dafs nämlich umgekehrt jede primitive m*^ Wurzel der Einheit (d. h. jedes a% wenn r lative Primzahl gegen m ist) der Gleichung f(x)==0 genügt; doch kann man das Problem sogleich auf den einfachsten Fall reduciren, in welchem r eine absolute Primzahl ist, die natürlich nicht in m aufgehen darf. Ist nämlich wiesen, dafs a% a' der Gleichung f{x)=^0 genügen, so mufs auch a''-^ ihr genügen; denn da der Annahme nach a der rationalen Gleichung f(x'^)==0 genügt, so mufs ihr auch jede andere Wurzel a* der irreduclibeln Gleichung f(x) == 0 genügen. Offenbar braucht also nur noch gezeigt zu werden, dafs jedes aP der Gleichung f(x) = 0 genügt, wenn p eine absolute Primzahl ist, welche nicht in m aufgeht.

3 .

Um dies zu beweisen, bemerken wir, dafs die Wurzeln der irreductibeln Gleichung Д(а?) = 0, welcher a^ genügt, mit den /?*^" Potenzen der Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 übereinstimmen müssen; denn da aP ebensowohl eine rationale Function von a^ wie umgekehrt а von a^ ist (nämlich = {aP) , wenn pp^^i (mod. w)}, so müssen die Grade der beiden Functionen Дл?) und fi{x) einander gleich sein. Setzt man daher

f ( x ) = {x — a){x — ß) ... (x — Я), so ist

f , { x ) = {x — aP)ix — ßP) ... (x — XP)

und folglich nach dem oben bewiesenen Satze von Schönemann

f , { x ) = f{x) (mod./?).

Und aus dieser Congruenz zwischen den beiden Functionen f{x) und fi{x) folgt auch ihre Identität. Denn nehmen wir an, die beiden irreduclibeln Functionen f{x) und fi{x) sind nicht identisch, so können sie auch keinen meinschaftlichen Factor haben, und folglich ist a?'" — 1 durch ihr Prodnct theilbar, da x^^—X sowohl durch f{x) als auch durch fi{x) theilbar ist. Es wäre daher o?'"—1 einem Producle von Factoren gleich, unter denen stens zwei einander nach dem Modulus p congruent wären. Dann mufste (zufolge Art. 6 des vorstehenden Aufsatzes über die höhern Gongruenzen) die