294 Hermes y über einige besondere Funkte des Tetraeders.

Es wird sich in dem Folgendem zeigen, dass durch die Vermittelung noch anderer Punkte, als der bisher in Betracht gezogenen, diese und liche Fragen ihre Erledigung finden.

§ . 1.

Man kann in dem Satze, von welchem oben ausgegangen wurde, den Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks ABC ersetzen durch jeden beliebigen Punkt p der Ebene desselben und erhält dann einen dem Mittelpunkte des dem Dreieck umschriebenen Kreises entsprechenden Punkt p^ als gemeinsamen Schnittpunkt des durch die Mittelpunkte a,„ 60, c,) der Dreiecksseiten ВС, CA, AB bezüglich zu den Verbindungslinien Ap^ Bp^ Cp parallel gezogenen Geraden : die Punkte p und pi liegen mit dem Schwerpunkte /?о des Dreiecks auf derselben geraden Linie und es ist auch hier pp()=^2pip^. Weniger kannt scheint eine naheliegende weitere Verallgemeinerung des letzten Satzes zu sein, bei welcher der Schwerpunkt des Dreiecks durch den Pol po einer beliebigen Transversale {g) in Beziehung auf das Dreieck ersetzt wird, und doch empfiehlt sich gerade diese Verallgemeinerung durch die Einfachheit ihrer Beweisführung.

Bezeichnet man die zu den Schnittpunkten der Transversale {g) mit den Dreiecksseiten in Beziehung auf die Endpunkte der jedesmaligen Seite con- jugirten harmonischen Punkte durch «o, 6^, Co, welche Punkte kurz die Pole der Transversale (g) in Bezug auf die Dreiecksseiten heissen mögen, so sind die Dreiecke ABC und aob^Co bekanntlich homolog (coUinear) für die Axe {g) und das Centrum jt?o, indem die Geraden Ла^, -Bèy, Ссо sich in p^ schneiden und die Schnittpunkte der correspondirenden Linienpaare (BC^ 60c^), (СД Coöfo), (АВ^а^ф^)) auf der Transversale (g) liegen. Wenn man also die Verbindungslinien der Eckpunkte A^ B^ С des gegebenen Dreiecks mit dem beliebig gegebenen Punkte p der Ebene bezüglich verlängert bis zu ihrer Durchschneidung mit der Transversale (g) in den Punkten a^ b^ c^ so schneiden sich auch die Verbindungslinien aöP,), 660^ cc^ in demselben Punkte Pi, welcher mit p und dem CoUineationscentrum p^ auf derselben geraden Linie liegt, und es ergiebt sich

PiP _ Auq , Aa^ /_ ДЬр . Bb^ _ Ccq ^ Cc \ PiPo ~" РЛ ' P^ ^ ^"^ рЛ ' Pb ^ Po^o ' P^ ^'

Man hat demnach den folgenden Satz: