Heine , Geometrische Bedeutung der Kugelfunctionen. 387

für ein ungrades n^ ist demnach

cos\^PA „ , j^i ) = cosöcos--------1-sin ö sin-------COS^D

und dies gleich Mcos[yj----------), wenn man

cos в = Ж cos гру sin в cos cp == if sin Ц' setzt. Im zweiten Falle, für ein grades n, wird

cosPA^ = cosöcos(w + l — 2m)-----\-smes\n{n+i—2m)—cos^

=■ ifcos(v^~w + l—2ш—), in beiden Fällen daher

/ 7=r2^^ - 'cosP^ . cosF . 42 . . . cosF^==^ " cos / 2t / / . Setzt man für M und гр ihre Werthe in в und cp zurück, so entsteht и ~ ^ (cosö + «sinöcos(/))"+2 (cosö — isinöcosyj^

Man kennt (Handb. d. Kugelf. §. 43, Form. 33) die vollständige Ent-- Wickelung der rechten Seite nach Cosinus der Vielfachen von 2(p; hier genügt aber die Kenntniss des ersten, von cp unabhängigen Gliedes, welches nach Laplace (Handb. §. 7, Form. 5) die n^^ Kugelfunction P'*(cosö) ist. Die n^^ Kugelfunction ist demnach das Mittel aus den Werthen^ welche П annimmt, wenn der Punkt P festgehalten wird, während der Kreis К sich um seinen in Ai resp. А mündenden Durchmesser dreht. Dies ist die geometrische Bedeutung der Kugelfunction.

§ . 3. Das Aufsuchen des Mittelwerlhes einer Function von cp, die nach Cosinus der Vielfachen von cp geordnet ist und mit dem Cosinus des m—Ifachen Winkels schliesst, erfordert nicht die Ausführung einer Integration; das Mittel ist bekanntlich genau gleich dem arithmetischen Mittel von den m Werthen der Function (den Ordinaten), welche eben so vielen Werthen von (p (den Abscissen), nämlich

Ti 2n Sti mn

m ^ ш ' w ' * * ' m entsprechen. Man kann aber den mittleren Werth solcher Function, durch ge-

eignete Wahl der Abscissen, etwa aus der Hälfte, nämlich aus -s" oder —^ Ordinaten bestimmen, Ist nämlich eine eindeutige Function f{(p) in die liche oder unendliche Reihe

f { ( p ) = a,j + öiCOS9)+a2Cos2c) +

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