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Ueber algebraische Flächen, die zu einander

apolar sind.

( Von Herrn Th, Heye in Strassburg i./E.)

In einer früheren Arbeit*) wurde gezeigt, dass in Bezug auf eine Fläche Ф"" n^^^ Classe nicht bloss den einzelnen Ebenen und Ebenengruppen des Raumes bestimmte Polaren entsprechen, sondern für k<Zn auch den Flächen F* а*«г Ordnung. Eine Ausnahme bilden nur die zu Ф'* apolaren F^, als deren Polare jede Fläche (w—Ä)*®^ Classe angesehen werden kann.

In dem vorliegenden Aufsatze soll die Definition der zu Ф'' apolaren Flächen ft*^^ Ordnung erweitert werden, sodass sie auch auf den Fall k^n anwendbar wird. Wir werden zeigen, dass die Beziehungen von zwei zu einander apolaren Flächen Ф"" und F* wechselseitige sind und bei einer beliebigen coUinearen oder reciproken Transformation der beiden Flächen ungeändert bleiben, dass sie also die Invarianteneigemuhaß besitzen. Die Theorie der zu einander apolaren Flächen ftihrt deshalb auch mit keit zu wichtigen Covarianten und Invarianten algebraischer S'lächen und Curven. Ebenso leicht kann sie verallgemeinert und in der theorie der algebraischen Formen mit mehr als vier Variabein angewendet werden.

§ . 1. Polarentheorie der Flächen и*" Ordnung. 1. In der vorhin citirten Arbeit wurde bewiesen, dass jede qua- temäre Form n^^^ Grades F''{x, y^^^^) dargestellt werden kann als Summe

der n^^^ Potenzen von ^ g 3 "^ ^ linearen Formen, welche

gesehen von Constanten Factoren willkürlich angenommen werden dürfen. Wir können also setzen:

F^'ix . y . z . w ) = 2:fij.{ajx+ßjy + rj^-pjw)% auch wenn a^, ßj^ yj^ pj gegebene Constante bezeichnen. Wir wollen diese

* ) Erweiterung der Polarentheorie algebraischer Flächen; dieses Journal Bd. 78 S. 97—113.