Stickelberger^ über Schaar е/ъ von bilinear en und quadratischen Formen» 31

ist . Wir nehmen an, der zu begründende Satz sei fiir die Form Г, die in ganz ähnlicher Weise wie R zusammengesetzt ist, bereits bewiesen, es sei also der Exponent der Potenz von r — c^ durch welche ihre vten determinanten sämmtlich theilbar sind, gleich s^^^ + ... + f^. Die minante von S ist ± (г—сУ^\ von ihren ersten Unterdeterminanten ist eine gleich ± 1, nämlich die Determinante der Form von *^—i Variabeinpaaren

welche man aus S erhält, indem man X, = F = 0 setzt, und ebenso ist unter den höheren Unterdeterminanten von S stets eine gleich 1. Da die Formen S und T keine Variabein gemeinsam haben, so ist, wie leicht zu sehen, jede von 0 verschiedene i^te Unterdeterminante von R das Product einer с ten Unterdeterminante von S mit einer rten Unterdeterminante von J, wo o'-+-T = j/ ist; daher findet man den Exponenten derjenigen Potenz von r—c^ durch welche alle i/ten Unterdeterminanten von R theilbar sind, folgendermassen: man zerlegt die Zahl v auf alle möglichen Arten in zwei Summanden ö4-t, von denen a%s^ und г^п—«i ist; sind dann alle crten Unterdeterminanten von S durch die «te, und alle irten Unterdeterminanten von T durch die /Jte Potenz von r~c theilbar, so ist die kleinste den schiedenen Zerlegungen von v entsprechende Summe а-л- ß gleich dem suchten Exponenten. Nach den obigen Auseinandersetzungen ist derselbe demnach gleich der kleinsten der Zahlen

{ s^ H-«,/+iH---------Ь «Д

also wegen der Ungleichheiten (3.) §. 1 gleich der zweiten derselben, d. h. gleich X^. (Vgl. Wä., §. 4).

Da nun der grösste gemeinschaftliche Divisor der î^ten minanten einer Schaar O, wie oben auseinandergesetzt, mit demjenigen der vten Unterdeterminanten einer äquivalenten Schaar übereinstimmt, so ergeben sich aus dem so eben bewiesenen Satze als Hauptresultat unserer ganzen Untersuchung die Gleichungen

( 2 . ) /j = Aj, /2 ^^ ^5 • • • ?