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Netto , Beitrag zwr MannigfalUgkeitslehre.

des Gebildes. Aus A) ergiebt sich а?1 -ь -^, . . . л? 4- --^^ als ein solcher Punkt.

Ein Punkt x^^ x^^ . . . Хщ liegt auf der Grenze zweier Gebilde 2t und 93, wenn ihm beliebig nahe noch Punkte im Innern von 91 und Punkte im Innern von 95 liegen.

C ) Kann man von jedem Punkte eines Gebildes zu einem stimmten Punkte desselben Gebildes und folglich auch zu jedem anderen auf einer Linie gelangen, die ganz dem Gebilde angehört, so heisse selbe zusammenhängend.

D ) Aus einer /г-fachen Mannigfaltigkeit M^ schneiden wir ein Gebilde /iter Dimension 31 aus, welcher mit dem Reste 93 von Mn keinen Punkt gemein hat. Wäre die Grenze @ von 91 und 93 gleichfalls von der wten Dimension, so könnte man nach A) und B) einen Punkt im Innern von @ wählen, für den z. B. x^^ x^^ . . . x^ beliebige Incremente haben könnten, falls sie sämmtlich dem absoluten Werthe nach kleiner als die endliche Grösse à sind. Nach der Definition der Grenze liegt dem a;i, . . . x^ beliebig nahe ein Punkt y^= x^-^ s^, . . . y^^ x^-\- s^, ...

im Innern von 9Ï; wir können also «j, «2 • • • «/^ <-^^ machen; dann liegt 3^1? ^25 • • • Уу^ im Innern von 91 und auch noch im Innern von @. Es giebt also nach B) eine endliche Grenze £, unterhalb deren man die cremente z. B. von ^15^2 9 • • * Уп annehmen kann, ohne dass man das Innere von 91 und von @ verlässt. Da ^i, . . . ^^ im Innern von ® liegt, so giebt es nach B) in beliebiger Nähe noch Punkte, die zum Innern von 93 gehören, z. B. ^i + ^i, ^2 + ^5 • • • ^m "*" ^m' ^^^ ^^^ \шап die ^ beliebig klein, also auch kleiner als С machen. Der so erhaltene Punkt 3/1 -b .9^1, . . . j/^ -b ^^ liegt dann gleichzeitig im Innern von 91, @, 93. Dies widerspricht der Voraussetzung, dass 91 und 93 keinen Punkt gemein haben. Dass es wirklich zwischen 9t and 93 Grenzpunkte und in @ Punkte im Innern giebt, folgt leicht aus A), B).

Hieraus ergiebt sich, dass die Grenze zweier wesentlich schiedener Gebilde derselben wten Dimension von niederer als dieser Dimension ist. Denn da die Grenze beiden Gebilden angehört, kann sie nicht von höherer Dimension sein, und da beide Gebilde bei