288 Frobenius, principale Transformation der Thetafunctionen,

letzteren umkehrt. Daher ist

( 15 . ) J-'KJ=K, JK=^KJ,

und zugleich ist, wenn jST und A beliebig sind, К das allgemeinste mit J yertauschbare reelle System. Die beiden Gleichungen (14.) und (15.) setzen also vollständig die Transformationsbedingungen (6.) § 3. Aus ihnen und der Relation AJÄ = nJ soll nun einmal Q^ das andere Mal К eliminirt werden. Nach (14.) ist

A^Q - ^KQ , A' = Q'K'Q'^-'\

nJ - AJÄ - Q'^JQKQ'^~'\ nQJQ' - KQJQK\ also wenn man mit J~^ multiplickt und J^K— KJ~^ setzt,

nJ - 'QJQ' = K(J-'QJQ)K\

Nun ist

also

( 16 . ) J'QJQ' - F und daher

( 17 . ) KFK = nF.

Aus dieser Relation, die wesentlich mit (1.) identisch ist, leitet man leicht die Formel (9.), § 3 ab. Aus derselben folgt nun, wie oben,

K'F - 4 { = nF'\ (Q'K')F-XKQ) - nQ'F'Q, also nach (14.)

( A'Q' ) F - ' ( QA ) ^ nQ'F-'Q, und falls man

( 18 . ) H - Q'F'Q setzt, ^

( 19 . ) ÄHA = пН. Indem man die Reihe dieser Gleichungen rückwärts durchläuft, erhält man umgekehrt aus (19.) die Formeln (14.). Aus (16.) und (18.) folgt

( 20 . ) H = J-'Q-4Q und mithin

HJÜ - J-^Q'4QJJ~^Q'4Q = J.

Ist das System der Parameter T gegeben, so kann man alle formationen Ay die für dasselbe principale Transformationen sind, finden, indem