370 H auch, über die reciproken Figuren der graphischen Statik,

§ 3.

Relation zwischen der orthogonalen Parallelprojection, der reciproken Projection in Beziehung auf eine Rotationsfläche zweiter Ordnung und der reciproken Projection in Beziehung auf ein Nullsystem.

Entwirft man von einer geraden Linie L gleichzeitig die Neumann'sche Projection t und die orthogonale Parallelprojection l auf die nämliche jectionsebene ^, so muss, da I die Spur einer zu L senkrechten Ebene re- präsentirt, nach bekanntem Satze — / senkrecht zu t sein. Hierdurch ist eine eigenartige Beziehung zwischen der Neumann'schen Projection und der gonalen Parallelprojection eines Polyedergebildes auf die nämliche jectionsebene bedingt. Dieselbe ist näher illustrirt durch Fig. 1, welche die Neumann'sche Projection (gestrichelt) und zugleich die orthogonale rallelprojection (ausgezogen) eines Polyeders darstellt*): Jeder geraden Linie der einen Projectionsfigur entspricht eine zu ihr senkrechte Linie der andern, und zwar so, dass allen Linien der einen Figur, die in einem Punkt zusammentreffen, in der andern Figur eben so viele Linien entsprechen, die ein geschlossenes Polygon bilden, und umgekehrt. (In Fig. 1 ist das Arrangement so getroffen, dass die Ecken der einen Figur durchweg innerhalb der entsprechenden Polygone der andern Figur liegen, und umgekehrt.)

Diese Beziehung beschränkt sich indessen nicht auf die Neumann'sche Projection allein, sondern gilt in gleicher Weise auch für die reciproke Projection in Beziehung auf das Polarsystem irgend einer Rotationsfläche zweiter Ordnung bei einer Stellung der Projectionsebene senkrecht zur Rotationsaxe. Es ergiebt sich dies leicht aus folgender Betrachtung:

Man denke sich das Polarsystem einer Rotationsfläche zweiter nung, deren Mittelpunkt 0 sei und deren Rotationsaxe senkrecht zur jectionsebene $ stehe; dazu noch das Polarsystem einer Kugel, deren punkt 0' auf der Rotationsaxe liege. Entwirft man dann von irgend einem räumlichen Object die reciproken Projectionen in Beziehung auf beide Sy-

* ) Das projicirte Polyeder ist das gleicheckig-halbreguläre Polyeder, dessen 26 Flächen aus 6 regulären Achtecken (Hexae'derflächen), 8 regulären Sechsecken (Oktaederflächen) und 12 Quadraten (Granatoederflächen) bestehen. Die ebene ist parallel zu einer Hexaederfläche —, das Projectionscentrum 0 auf der Senkrechten zur Projectionsebene durch den Mittelpunkt des Polyeders angenommen. Die Flächenorte der Hexaeder-, Oktaeder-, Granatoëder-Flächen sind bezw. durch 1^, 0^ g bezeichnet. Die zur Projectionsebene senkrechten Flächen projiciren sich orthogonal als gerade Linien; die zugehörigen Flächenorte (zwei Punkte 1^ und zwei Punkte g) fallen ins Unendliche.