Cardinaal , über einen besonderen Fall des F'^-Gebüsches, 33

fläche vierter Ordnung. Die Kegelflächen des Gebtisches theilen sich nämlich in zwei Gruppen ein. Die Gerade d enthält die Scheitel aller eigentlichen Kegelflächen, während die übrigen in Ebenenpaare zerfallen. Sie vertritt im Gebüsche die drei Geraden AB^ BC^ CA^ und da diese drei Geraden auf der Kernfläche liegen, so ist d deren dreifache Gerade. Ihre Erzeugenden sind die Kerncurven der zum Gebüsche gehörenden F^-Bündel.

5 . Aus jedem Punkte von d gehen drei Erzeugende von K\ Um sie aufzufinden wähle man als bestimmende Elemente des Gebüsches d und die Raumcurven dritter Ordnung k^ und P, die d zur gemeinschaftlichen Sehne haben, lege durch k^ zwei Flächen des Gebüsches, Л^ und B^^ und construire den F^-Büschel durch f. Jede Fläche dieses Büschels bestimmt mit B^ einen neuen Büschel, der A^ in einem Büschel Raumcurven dritter Ordnung schneidet. Sind nun alle F^-Büschel construirt, so ist auf A^ ein Bündel dieser Raumcurven entstanden, die Strahlen, die einen Punkt M von d mit den vier Basispunkten eines Büschels verbinden, bestimmen je eine Kegelfläche zweiter Ordnung, zu deren Strahlen auch d gehört. struirt man nun auf diese Weise die zu allen Büscheln des Bündels hörigen Kegelflächen mit dem gemeinschaftlichen Scheitel Ж, so entsteht ein Büschel Kegelflächen. Dieser Büschel enthält drei Ebenenpaare; die Doppellinien dieser Paare werden folglich die drei Erzeugenden der fläche bilden, die aus M gezogen werden können. Die Kernfläche gehört also zu den Regelflächen vierter Ordnung, bei denen aus einem Punkte der dreifachen Geraden drei Erzeugende gezogen werden können, die nicht in einer Elbene liegen.

Legt man eine Ebene (p durch d^ so wird von den Kegelflächen des Gebüsches, die einen gemeinschaftlichen Scheitel haben, eine diese Ebene längs d berühren, also bestimmt jede Ebene durch d als schaftliche Tangentialebene gleichfalls einen Büschel Kegelflächen des büsches, deren Scheitel die Punkte von d sind.

6 . Die Fläche vierter Klasse, deren Berührungsebenen in JS'^ den Kegelflächen des Gebüsches entsprechen, artet aus in eine doppelt zu zählende Fläche zweiten Grades. In jedem F^-Büschel des Gebtisches giebt es zwei eigentliche Kegelflächen; sie vertreten jedoch die vier Kegelflächen eines beliebigen F^-Btischels, sind also doppelt zu zählen. Folglich gehen durch jede Gerade von ^^ zwei Bertihrungsebenen, die diesen Kegelflächen entsprechen und die gleichfalls doppelt zu zählen sind. Diese Bertihrungs-

Journal für Mathematik Bd. CXI. Heft 1. 5