Fur twang 1er, über die Klassenzahlen Abelscher Zahlkörper, 93

p verlieren. Das ist unmöglich, wie jetzt nachgewiesen werden soll. Ist die Klassenzahl von k' durch p""' teilbar, so gibt es in bezug auf k' einen unverzweigten relativ Abehchen Körper vom Relativgrad j?"*'*). Dieser ist auch in bezug auf K' unverzweigt; und zwar ist er in bezug auf K^ weder vom Relativgrad ^j'^' oderj)''"~\ Das letztere kann nur dann eintreten, wenn K' selbst in bezug auf k' un verzweigt ist. Existierte nun in bezug auf K' ein unverzweigter relativ Abehcher Körper vom Relativgrad p"^', so müßte die Klassenzahl von К mindestens durch^"' teilbar sein**); es könnte also die Klassenzahl bei dem Übergange von k' nach K' keinen Faktor p verlieren. Es bliebe daher nur die Möglichkeit, daß K' selbst in bezug auf k' unverzweigt wäre. Das kann aber auch nicht sein; denn k' und K' sind beide Unterkörper des Körpers der m-ten Einheitswurzeln ^,, und ein solcher Körper besitzt, wenn m eine Potenz einer Primzahl ist, keine zwei körper, von denen der eine unverzweigt in bezug auf den andern ist. Ist nämlich m— f, wo / eine Primzahl bedeutet, so wird / in k^ die l^"^ (/ l)-te Potenz eines Primideals 2***). Da der Grad des Körpers k^^ ebenfall gleich /^"^(/—1) ist, so geht 2 in der Relativdiskriminante irgendeines Unterkörpers von k, in bezug auf einen anderen Unterkörper auf, und es ist daher keine Unverzweigtheit möglich.

Hiermit ist die Richtigkeit unserer Behauptung allgemein gewiesen, die wir im folgenden Satz noch einmal formulieren:

Satz , Sind к und К zwei Unterkörper des Körpers der m-ten Ein- heitswurzeln, wo m eine Potenz einer Primzahl bedeutet, und ist к in К halten, so ist die Klassenzahl von к ein Teiler der Klassenzahl von К Für die Definition der Klassenzahl gilt der schärfere Aquivalenzbegriff, nach dem zwei Ideale dann äquivalent heißen, wenn ihr Quotient als total positive Körperzahl darstellbar ist.

Der Satz bleibt nicht mehr allgemein richtig, wenn m durch schiedene Primzahlen teilbar ist, wie ein einfaches Beispiel zeigt. Wäre er richtig, wie auch m beschaffen sei, so würde er, da jeder ^è^feche Körper

* ) Vgl. den allgemeinen Beweis für die Existenz des Klassenkörpers, den ich in drei Mitteilungen erbracht habe, die in den Gott. Nachr. 1903 und 1904 erschienen sind. **) Vgl. Ph. Furtwängler, Eine charakteristische Eigenschaft des Klassenkörpers, 1. und 2. Mitteilung, Gott. Nachr. 1906 und 1907.

* * * ) Vgl. D. Eilbert, Bericht über die Theorie der algebraischen Zahlkörper, S. 331, Satz 120.

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