Schottky , Funktionen mit gegebener linearer Substitution in sich. 11

geht weiter hervor, daß im ersten Falle \u — Äni\, im zweiten |г^ + Ani\ kleiner als \x — a\ ist.

Nehmen wir jetzt einen Punkt x' an, der seitwärts von der geraden Linie liegt, aber ebenfalls im Gebiete G. Wir ordnen ihm denjenigen Punkt X zu, der auf der Linie selbst hegt und auf demselben Orthogonal- kreise wie x\ Der Wertunterschied der Funktion и in beiden Punkten, der durch die Summe ^{xi — x[) ausgedrückt wird, ist kleiner als die Peripherie des Orthogonalkreises, also kleiner als eine Größe J, die selbst bei der Annäherung von x und x^ an а unendlich klein wird. Folglich können wir sagen, daß auf jedem Wege, der innerhalb G во zu а führt, daß Kl zur Linken bleibt, и stetig in + Алг übergeht, auf jedem Wege, der von der anderen Seite kommt, in —Алг.

и selbst hat demnach im Punkte а zwei verschiedene Werte. Aber das widerspricht nicht der Klassendefinition ; auch и ist eine Funktion der Klasse.

и wird im Gebiete G nur an der unendlich fernen Stelle unendlich, wie x — a. u^ wird dort von der zweiten, u^ von der dritten Ordnung unendlich, u. s. f. Denkt man sich irgendeine Klassenfunktion F{x), die im Gebiete G nur an der unendlich fernen Stelle unendlich wird, so kann man sicher eine ganze Funktion von и bilden, die, als abhängig von x betrachtet, genau in derselben Weise unendHch wird wie F{x). Dann muß aber die Differenz beider Größen konstant sein; demnach ist F(x) als ganze Funktion von и darstellbar.

/ if Л1

Dazu gehört auch p = {x — af.~^ , und zwar muß dies eine quadratische Funktion von и sein. Aber p wird entschieden 0 im Punkte a, während и dort sowohl gleich Aлi wie gleich —Алг werden kann. Deshalb muß p proportional u^ + Ал^ sein und sogar gleich diesem Ausdruck, da, für x= cx), p wie {x — af, и wie x — a unendlich wird. Es genügt also и der Differentialgleichung

{ х - а^^^и' + А'л^

Jetzt läßt sich leicht beweisen : Jede Funktion der Klasse ist eine

rationale von u.

Denn es sei ш die Klassenfunktion und cc ein Wert, dem sie sich

bei der Annäherung von ж an а im Gebiete G nicht nähert. Dann läßt

2 *