146 Fraenkel, Тeiler der Null und Zerlegung von Ringen.

fügung eines Einheitselements läßt ebenso wie die hintere jedes Ringelement ungeändert; das Einheitselement eines Ringes ist daher eindeutig bestimmt. Ein Ring enthält zu keinem Nullteiler ein reziprokes Element, und die samtheit aller regulären Elemente eines Ringes bildet in bezug auf die kation eine Gruppe.

Beweis : Sind а und b zwei beliebige Elemente eines Ringes Ы, e ein Einheitselement von 9t, so ist nach dem ersten distributiven Gesetz

{ a + b) • (é + «) = а + Ь + а + b, nach dem zweiten

( a + b ) ' (€ + «)= a. (fc+ «) + Ь . (б+ б) == а + a+ b+ b, so daß nach Satz 1 in der Tat folgt: a-\'b^b \- a, was sich in bekannter Weise auf mehr als zwei Summanden überträgt. Weiter ist nach Rr^>^ und i?9): a= а • e^ 8 • а • ß^^^, woraus durch vordere Multiplikation mit 6 die zu beweisende Relation в > а = а folgt. Ferner sei а *b=- 0=b • a, aber Ь Ф 0; existierte dann a~"^ so, daß а • a""^ = s wäre, so folgte 0 = b'a'a~~^ = b • e =^b gegen die gemachte Voraussetzung, d. h. Nullteiler besitzen wirklich keine Reziproken. Das Produkt zweier regulärer Elemente cc • /?, zu dem ja /9""^ • a~~^ reziprok ist, ist daher wieder regulär, woraus mit Rücksicht auf Rq^, R^^ und Äg) die letzte Behauptung von Satz 3 folgt. Aus dieser schließlich ergibt sich bei wiederholter Anwendung von Rq^ die Richtigkeit der Aussage über die Veränderung der Reihenfolge deï toren bei der Multiplikation.

Die natürlichen Potenzen eines Ringelements, die mehrfach kommen werden, seien gleich hier in bekannter Weise eingeführt durch

die Definitionen

a=a^ , a'^^a^ a'**+\

wo a ein beliebiges Element aus 0Î, dagegen 1, 2, ... m, ..r nur abkürzende Symbole und nicht etwa Ringelemente sind*); die gewöhnlichen regeln wie a"^ * a''= a"*+** usw. sind leicht herzuleiten. Gelegentlich wird auch die Schreibweise a^ = « benutzt werden.

* ) Auch die Addition dieser Symbole hat naturiich mit der im Ring definierten Addition nichts zu tun; die Benutzung der gewöhnlichen Operationszeichen für die Addition, Subtraktion und Multiplikation ganzer Zahlen wird an den wenigen Stellen, wo sie auftreten, zu Mißverständnissen wohl nicht fuhren.