Robert König, Riemannsche Funktionen- und Differential-Systeme in der Ebene. 175

Die Anzahl U der linear unabhängigen Funktionen, welche

Multipla von Ol sind, vermindert um die Anzahl Vder linear

unabhängigen Differentiale, welche Multipla von Qr^ sind,

ist gleich

( 3P . ) U-V = -p-~q+l.

Zusatz : Das Theorem besteht auch allgemein für zwei Eigen-

divisoren mit dem Produkt Qi^Q/ = rationaler Divisor'^).

§ 14, Reziprozitätstheoreme.

Der Verzweigungsdivisor 3 von der Ordnung j und der Differential- divisor 5B von der Ordnung t0 = i — 2n waren Eigendivisoren von (Z), {K). Für die Geschlechter p und p von {K) und (K) gilt aber p= :s:Sai--n+ l, p= 22ai — n+ l,

und da nach (25.), (26.)

so wird

( 32 . ) p+p^^^2{n-l)==tO + 2.

Theorem IV. Die Geschlechter zweier zueinander plementären Klassen ergänzen sich zu to+ 2, wenn tt> die Ordnung des Differentialdivisors des Klassenpaars deutet.

KoroUar : Haben insbesondere zwei zueinander plementäre Klassen dasselbe Geschlecht p, so wird

2p —2 = n>. Gehen wir auf die ursprüngliche Bedeutung der Gleichung (31.) und

der Zahlen U, V zurück, wobei а-ф = 5Ш7^ und damit auch 0.0.* = $Ш7^ wird, wennU'^= ^*{z—Zq) ist, und bemerken wir, daß F auch gleich der

Anzahl Î7* der linear unabhängigen Funktionen l^,-%) von (ЙГ) wird,

* ) Wählt man speziell Q.-= TTl- , wo Pe(e = 1, 2,.,. «) e beliebige Funkte

sind , so wird q = — ns und U — V =—p -h ne + 1 = n{ê ~h 1) — 2:Sa; das ist die Formel von Ritter, a. a. 0., S. 193 unten für <î = p=^0; doch hat Ritter überhaupt eine ganz andere Definition des Multiplums und der Exponenten, so daß seine und die hier spezialisierte Formel überhaupt unmittelbar nicht verglichen werden können.

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