jH . Brandt^ Komposition der binären quadratischen Formen relativ einer Grundform. 13

erfüllt sind, die den beiden symboHschen Kongruenzen

8''фО , {S) 8''ф0, {S') gleichbedeutend sind. Umgekehrt können aber auch für jede aus den primitiven Substitutionen S, /S' mit den zueinander primen Determinanten m, m' kongruent komponierte Substitution &'' zwei Zahlen ^i, pf bestimmt werden, so daß

S'' = fiS, (m) S''^^'S\ {m%

Dies folgt nach der Definition des Begriffs der Kongruenzkomposition aus dem Satz VI. Dabei ist aber fi zu m, fi zu m' prim; denn schreibt man &'' = ST\ was wegen /S^'^ 0, (/S) gestattet ist, so hat man l^"^] = w', und aus ST'^fiS, (m) folgt mfS^fiST\ (m). Da aber m^S nach m primitiv ist, muß ^ zu m prim sein. Ähnlich schließt man, daß /л^ zu m' prim ist.

Wir fassen das Ergebnis in dem folgenden Satz zusammen.

Satz IX. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür ^ daß aus den primitiven Substitutionen S, S^ mit den zueinander primen Determinanten m, m' eine Substitution S'^ mit der Determinante mm' gruent komponiert ist, bestehen in der Existenz zweier beziehungsweise zu m, m' primen Zahlen /л, /u\ für welche

S''=fiS , (m) S''^f4.'S\ (m').

Dieser Satz hätte also auch zur Definition des Begriffs der gruenzkomposition benutzt werden können; doch würde diese Definition nur für Substitutionen mit zwei Variabein und auch nur für primitive Substitutionen gelten.

Beispiel : Für das Beispiel der vorigen Nummer hat man

3 2 -4 9

1 "~1

2 3

2 -1 9 -1

( 5 ) (7).

10 * Eine charakteristische Eigenschaft einer kongruent komponierten Substitution, die auch für imprimitive Substitutionen (sogar mit beliebiger Variabe^nzahl) gültig ist, spricht der folgende Satz aus»

Satz X. Ist S^' aus S und S' kongruent komponiert, so gibt es ще% tmimodulare Substitutionen U, U\ so daß S'' == SUS' = S'Ü'S, und ist gehehrt diese Doppelgleichung für zwei Substitutionen S, S' mit zueinander