22 Я. Brandti Komposition der binären quadratischen Formen relativ einer Grundform.

t^ — Du^

genügeni in der n die Determinante der hemiautomorphen Substitution deutet; sind urngekehrt t, щ n ganze^ der letzten Gleichung genügende Zahlen^ so ist die Substitution £2^ ganzzahlig und eine Hemiautomorphe von (p mit der Determinante n.

Beispiel : Die Substitution

2 -4 1 3

mit der Determinante 10 ist

eine Hemiautomorphe der Form (1, 1, 4) mit der Diskriminante D = —15, und ein Vergleich mit £2^ ergibt für die Gleichung —j----= 10 die sung « = 6, te = 1. Umgekehrt erhält man für die Lösung « = 3, w= — 1

2 4

der Gleichung ----^r— = 6 die Substitution

- 1 1

mit der

nante 6, die eine Hemiautomorphe der Form (1, 1, 4) ist, da sie diese Form in das 6 fache von sich selbst transformiert.

22 . Zum Beweise des vorigen Satzes sei die Substitution

T=^

X lii

V Q

mit der Determinante Iç — ftv = n eine Hemiautomorphe der primitiven Form 5p = (a, 6, c). Dann besteht die symbolische Gleichung

ТФТ=пФ ,

aus der man die andre

ТФ=ФТ

folgert , die, ausführUch geschrieben, folgende Gestalt annimmt

Я I/II Г 2a ö] __Г2а bill Q—fi i^^ll L Ь 2c J L ^ ScJH-y Я '

Diese symbolische Gleichung ist, wie die Ausrechnung ergibt, deutend mit den drei linearen Gleichungen

a { X—ç ) + bv=^0 , a/Lù+cr=0, Ь/г + с{с—Я) = 0. aus diesen entnimmt man, da a, b, с ohne gemeinsamen Teiler setzt werden, daß

Ç—X = bw, (л=^—сщ V = au gesetzt werden kann, wo и eine ganze Zahl ist. Schreibt man noch

р + Я = «, io ergibt sich