H . Brandt, Komposition der binären quadratischen Formen relativ einer Grundform, 33

jQ'' = i2 Q' =i2'i2^.

In der Tat ist dann auch die Kongruenz der Behauptung erfüllt. Das zeigen wir durch den Nachweis, daß ihre linke Seite durch die vier Zahlen mm'x^i m'm^, mm^, m'm{ teilbar ist. Damit ist zugleich bewiesen, daß sie durch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache dieser vier Zahlen teilbar ist. Dieses ist aber тггь'ш^ш^^т'^т^^; denn das kleinste gemeinschaftliche fache der zweiten und dritten Zahl ist шт^т^, der ersten und letzten mm^m[ und das dieser beiden тш'т^т^, weil m zu ni und m^ zu m[ prim ist.

Mit andern Worten heißt das: Unsere Behauptung ist bewiesen, sobald gezeigt werden kann, daß unter der obigen Annahme für £ï^ die linke Seite der Kongruenz der Behauptung durch die vier Zahlen тт[^ m'm^, mnii, m'm[ teilbar ist. Dies ergibt sich aber folgendermaßen.

35 . Setzt man die hnke Seite der ersten Kongruenz der setzung einmal rechts mit S^ und einmal links mit S zusammen, so geben sich die beiden Kongruenzen

512^ = 0, (m) QyS, = 0, (mj, und ähnlich schließt man aus der zweiten Kongruenz der Voraussetzung

S'n'^ = 0, (m') i2;SÎ = 0, {m[). Hieraus folgen, weil /S'' ein Rechtsvielfaches von S und /S', und Si ein Linksvielfaches von S^ und S[ ist, die vier Kongruenzen

S " 12^ = 0, (m) Q^S[' = 0, (mi)

S " i2 ; = 0, (m') n'^S[' = 0, (m[). Aus diesen entnehmen wir, daß

S " i2^^ ; SÎ' = 0, {mm[) Ä"i2;i2^Sr = 0, (rn'mj. Es ist also für I2j^'== i2^i2^ =^ i2^i2^ die linke Seite der Kongruenz der Behauptung durch mm[ wie auch durch пьт^ teilbar.

36 . Aus Satz XVIII ergibt sich die Existenz zweier ganzzahligen Substitutionen S2^' und i2^^, die den Gleichungen

i2^ S[ = S[ i2^.^ i2^ Si == Si i2^^ genügen. (Sind nämlich i2^, i2^ mit den Zahlen t, u; t\ u^ gebildete Hemi- automorphe von x^ ^^ ^^^^ '^yi' ^vi ^^^ ^^^ denselben Zahlen t, u; t\ v! gebildeten Hemiautomorphen von (f^ und ^p) Demnach ist

Si2^i2 ; Äi = iSi2^/Sii2;^ = 0, (mmj nach der ersten Kongruenz der Voraussetzung und ebenso

Journal für Mathematik. Bd. 150. Heft 1/2. 5