Adolf FraenkeL Über einfache Erweiterungen zerlegbarer Rin^e. 125

Fall heißen a und с wesentlich verschieden. Ist а durch c, aber nicht с durch а teilbar, so heißt с ein echter Teiler von a.

Definition 3: Ein Ring heißt endlich oder unendlich, je nachdem die Anzahl seiner ungleichen Elemente endlich oder un- endHch ist.

Im folgenden werden nun nicht ganz allgemeine Ringe betrachtet, sondern nur „zerlegbare Ringe endlichen Grades** (in der Terminologie von RI) *), d. h. Ringe, die außer den bisherigen sechs noch folgende zwei Bedingungen befriedigen:

I . Der Ring îK enthält nur endlich viele wesentlich verschiedene Null- teiler (Gradbedingung); der Ring kann dabei natürlich sehr wohl unendlich sein.

II . Sind a, b, с Elemente aus 3î und ist a -b durch с teilbar, so läßt sich с derart als Produkt c^ c^* c^, darstellen, daß а durch c^ und b durch Cg teilbar ist (Zerlegbarkeitsbedingung).

Die Zerlegbarkeitsbedingung II ist offenbar z. B. (für andere Fälle vgl. R I, S. 152 und 156) stets erfüllt in Ringen, deren Primteiler (vgl. die nachfolgende Definition 4) sämtlich untereinander äquivalent sind; in der Hauptsache kommen nur solche Ringe im folgenden vor.

Ringe , die außer den sechs Ringbedingungen und der gung I noch die Zerlegbarkeitsbedingung II erfüllen, sollen zerlegbare Ringe heißen. Zur Unterscheidung soll jeder nicht notwendig als bar vorausgesetzte Riug als nichtzerlegbarerRing bezeichnet werden.

Die natürlichen Vielfachen und die natürlichen Potenzen eines liebigen Ringelementes а werden in üblicher Weise bezeichnet, sodaß la für a, 2a für a+a usw., a^ für a, a* für a^a usw. geschrieben wird. Unter a^ soll das Einheitselement des Ringes verstanden werden. Das Rechnen mit diesen Vielfachen gehorcht den gewöhnHchen Regeln.

Es sollen noch einige Definitionen und Sätze über (zerlegbare) Ringe angeführt werden, von denen aber Def. 6 und die Sätze 3—6 im folgenden nur ausnahmsweise (in Kap. II, §§2 und 5) benutzt werden und zunächst überschlagen werden können. Für die Beweise ist auf R I zu verweisen.

* ) Die Einbeziehung der zerlegbaren Ringe unendlichen Grades wurde keine wesentlichen grundsätzlichen Schwierigkeiten verursachen, wohl aber gewisse dem Gegenstand wesensfremde Hiifsbetrachtungen erforderlich machen.