ж . Rasse, Symmetrische Matrizen im Körper der rationalen Zahlen, 25

vom Typus n • n führt dann, wie die obigen Gleichungen lehren, zu ebenfalls nicht identischen Darstellungen der Null, und hierbei bleibt sogar der Rang v (^1) der darstellenden Substitutionen S invariant. Somit rechtfertigt sich folgende Definition :

Definition . Die Null heißt durcheinen n-ären Komplex С v-är darstellbar (v^l), wenn für irgendeine Form 91 i^om Typus n • n aus С eine Gleichung (43.) mit einem S von einem Typus n • jtt und Rang v besteht.

Durch hintere Komposition mit einer Matrix R^ (x^^tt), die an x geeigneten Stellen Einsen, sonst nur Nullen'hat, kann man dann offenbar S in eine Matrix SRjc = S transformieren, in der von den /n Spalten von S genau fx — z beliebig vorgeschriebene fortgefallen sind, und für S besteht dann ebenfalls die Gleichung S' % S = 0. Da man auf diese Weise aus S Matrizen S jedes vorgeschriebenen Ranges v^^v und speziell eine solche vom Typus n*v und Rang v herstellen kann, ergibt sich:

Satz 12. Die v-äre Darstellbarkeit der Null zieht die v^-äre für jedes v^^v nach sich,

Satz 13. In (43.) darf S vom Typus n • v angenommen werden^ wo v der Rang von S ist, (i ^ V ^ n).

Speziell für r = 1 liefert (43.) nach Satz 13 ersichtlich eine nicht identische Darstellung der Null durch die quadratische Form 2Ï im Sinne von H I. Die soeben definierten 'v-ären Darstellungen der Null erweisen sich also in ebendemselben Sinne als Verallgemeinerung der gewöhnlichen, wie die in §§1,2 behandelten Darstellungen niederer Formen durch höhere gegenüber der Darstellung von Zahlen.

Ich wende mich jetzt zur Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß ein gegebener Komplex С die Null v-är darstellt. Diese Bedingungen müssen sich vollständig durch die Invarianten n, d, J, (cp) von С ausdrücken lassen.

Zunächst muß

( 45 . ) l'<:v^n-i

sein . Denn bestände (43.) für ein v'^n.so bestände dieselbe Gleichung nach Satz 12 und 13 auch mit einer Matrix P vom Typus n • n und Rang n. Das ist aber möglich, da dann der Rang von P' ?( P genau gleich n ist.

Ich bezeichne im folgenden mit Сг^ den eindeutig bestimmten Komplex, dem die Form

( E , On

vo ~~eJ

angehört . Dann gilt:

Satz 14. Die Null ist durch einen Komplex С dann und nur dann vär darstellbar, wenn die Komplexgleichung

( 46 . ) C = C2v + C(i)

eine Lösung C<i) hat,

Joimial für Mathematik. Bd. 153, Heft 1/2 4