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К . Rychlih^ Zur Èewertungstheorie der algebraischen Körper.

die Addition, Subtraktion und Multiplikation definieren und erhält auf diese Weise im allgemeinen einen Ring (und speziell einen Körper): den ganzen Nichteinheits- elementen des Körpers К entsprechen dann die Nullteiler des Ringes, den Einheiten des Körpers К die regulären Elemente des Ringes.

§ 8. Wir werden jetzt die Kongruenz im engeren Sinne für die ganzen Elemente aus К betrachten. Es sei m Ф 0 ein ganzes Element : 0 < 11 m 11 ^ 1. Dann definieren wir a^O (mod m)*, wenn ||a|| < ||m||; a^ b (mod m)*, wenn a — b^ O(mod m)*. Für die Kongruenz (mod m)* gelten Sätze, die denen (mod m) ganz analog sind. Man kann sie leicht entweder direkt beweisen oder auf Grund der Sätze: Aus a^b (mod m)* folgt a^b (mod я), wo |И|| < il^^H und umgekehrt. Um so mehr folgt aus a^b (mod m)*, daß auch a^b (mod m) ist. Wir werden z.B. den Satz III*/$.) beweisen: Aus den Kongruenzen 1.) a^6(modm)*, 2.) c^d (modm)*, folgt 3.) ac^bd {mod m)*,

1 . Beweis. 1.), 2.) bedeuten, daß Ца —еЦ < \\m\\, j|c —djl < Н^гЦ. Dann ist \\ac — bd\\-=\\{a-b)d'^(c-d)b-\-{a-~b) {c - d)\\ ^Ш%х {\\a- b\\'\\d\\,\\c - d\\ '\\b%\\a - b\\'\\c ~ d\\) < H m 1|, woraus gleich 3.) folgt.

2 . Beweis, 1.), 2.) bedeuten, daß a^b (modp), c^d (modg), wo lliPll < ll^ll» ll?ll < ll'^ll- Daraus folgt nach IL y.) 4.) a^b (mod r), 5.) c^d (modr), wo r={p,q), d. h. ЦгЦ == Max (||p||, \\q\l so daß ||r|| < ||m||. Aus 4.), 5.) folgt dann nach III. ß) ac^bd (modr) und daraus 3.).

Wir werden später öfters den folgenden Satz benötigen: Ist a^b (mod m)* und ist a assoziiert mit m, so ist auch b mit m assoziiert, \\a\\ = ||è|| = \\m\\. Aus ||a — ft|| < ||m||, ||öt|| = l|i^|| folgt nämlich, da ||a — è || Ф ||a||, daß ||i|| = IKa-ft) --a|| = Max(||a~i||, ||a||), d. h. \\b\\ = ||a||, w. z. b. w. Man kann weiter leicht beweisen, daß die Klassen (mod 1)* einen Körper bilden. Es genügt zu zeigen, daß die Kongruenz ax^b (mod 1)* eine und nur eine Lösung (mod 1)* besitzt, falls nicht a^O (mod 1)* ist. Aus der letzten Bedingung folgt nämlich, daß a eine Einheit ist, so daß nach III* y), wenn die Kongruenz ax^b (mod 1)* erfüllt sein soll, die Kongruenz x ^ b/a (mod 1)* gelten muß. Auch die Umkehrung ist leicht einzusehen, woraus die Behauptung unmittelbar folgt.

Für einen bewerteten Primelementkörper ist die Kongruenz (mod p*")* identisch mit der Kongruenz (mod p''+^) und speziell die Kongruenz (modi)* identisch mit der Kongruenz (modp). Die Klassen (modp) bilden also einen Körper.

Die Polynome mit Koeffizienten ans einem bewerteten Körper. Ein Hilfssatz über die Besnltante топ zwei soleben Polynomen.

§ 9. Wir werden jetzt die ganzen rationalen Funktionen einer lichen X, fix) = ao Ж** + • —h ö^n mit Koeffizienten aus einem bewerteten Körper К (Polynome aus K) betrachten.

Ein Polynom aus К ist primiti{>, wenn der größte gemeinsame Teiler aller Koeffizienten eine Einheit ist, was dann und nur dann zutrifft, wenn seine zienten ganz sind und einer von ihnen eine Einheit ist. Ein beliebiges Polynom