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Stammler , Aufbau von Zahlverknüpfnngen nach Gesetzen IL

Es existiert zunächst, nach wie vor, Äj = 0; dagegen ist für die Fälle der Multiplikation, die wir im folgenden betrachten {C ^ 2), ein k^ in dem zu Grunde gelegten Gebiet (der pos. ganzen Zahlen einschl. 0) nicht vorhanden. Daher winnt Grundgleichung (3)^), auf S^ angewendet, folgende Fassung:

( 3 * ) Aus S^{a^b) =8^(а^Ь') folgt stets b = b\ wenn афО ist.

Da wir, wie erwähnt, im folgenden nur Fälle С ^ 2 untersuchen, so impliziert die Gleichung С = i einen Widerspruch. Verknüpfungsfälle, aus denen sich diese Gleichung ableiten läßt, sind sonach als widerspruchsvoll anzusehen.

Endlich führen wir hier noch einige Formeln an; die sich aus der Grundformel der allgemeinen Multiplikation ^) ergeben, und im nachstehenden ohne weitere Ableitung benutzt werden:

С = S^(l, 1); С . а = S^{i, а) = S^(a, 1);

C'S^ia^b ) == S^(c-a,b) = S^(a,b^c) = S^ia-b-c, 1); S^ia.O) = 0.

§ 1. Werttripel. Beduktionsregeln.

Wir erwägen zunächst, was wir von der bisherigen Untersuchung über die legale^) Verknüpfung dritter Ordnung гщ Gebiete der ganzen pos. Zahlen einschl. 0 unter der veränderten Voraussetzung С ^ 2 noch beibehalten können. Wir gehen auch hierbei davon aus, 6*3 mit 6*1 (Addition: а + b) und S^ (allgem. Multiplikation: C-a-b; С Ф i) durch Grundgleichung (6)*) unter den Bedingungen (6)а und (6)6^) vereinigen zu wollen.

Da sich hierbei die Werte von А (= 3) und /u (= 2 oder 1) nicht geändert haben, so haben wir auch im nachstehenden für /^ = 1 und /л = 2 je diese tripel zu diskutieren:

le IIp IIIj, IVff Vf 1 vif

Vllf VIIIp IX

X

<P Q e Q Q Q \ Q

e Q 1

2

1^ 1 1 1 2 2 1 2

333

3

X 1 2 3 1 2 1 3

1 2 3

3

Deren Kombination für /г = 1 und /u = 2 ergibt mithin 26 • 26 = 676 lichkeiten.

Von den in § 10 der Npte I aufgestellten Reduktionsregeln bleibt Regel I ^) nach wie vor in Geltung. Sie läßt in jeder Reihe nur die Tripel I^ — III^, V^„ VI^, IX und X, also 17 • 17 = 289 Fälle übrig.

Dagegen wird Regel II') für ^^ = 2 unbrauchbar, da Ag nicht existiert^).

1 ) Note I, S. 117.

^ ) Ä2(«, W= C-a-b; СфО.

3 ) Gemäß den Grandgleichungen (1) — (6).

* ) Note I, S. 117.

0 Note I, S. 118.

^ ) Zwei Fälle y, xfj, x wnd (f\ x\ ^/ ^^'^^ dann miteinander identisch, wenn ц ~ ц\ i// = /', X = ^' ist

' ) Bedeutet t einen, 1' den anderen der beiden Werte ijj oder x einer Entwicklung 8^(а, Six{b, c)) ■e S^iSfia, b), /%(a,ç)); (j^ = 1 oder 2), so ist 8т(а, kp) = 8t(b, kfx), für jedes Paar a, &, für das Srf{a, W фЬ ist \0<v< (f). (Vergl. hierzu Anm. ^) und 2) S. 123, Note I).

^ ) Die Anwendung auf ^« = 1 lautet dann: Ist у = 1, so gibt es kein h, von dem 8j(a, b)