180

Bö hm el, Kurvenklassen mit vorgegebenen Eigenschaften.

in konstantem Abstand m von ihr entfernt liegende Kurve (o') es sein. In diesem Falle bedeuten aber die Größen U und V die negativ genommenen geodätischen Krümmungen (Torsion und Krümmung) der Kurve (o') auf der Regelfläche. Auf Grund der Formeln (2) wird aber jede Beziehung n-ier Ordnung zwischen и und v in eine solche 2w-ter Ordnung in U und V übergehen. Das heißt also:

Besteht zwischen den geodätischen Krümmungen der Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden einer Regelfläche eine Beziehung д-ter Ordnung, so besteht zwischen den geodätischen Krümmungen sämtlicher Orthogonaltrajektorien dieser Regelfläche eine Beziehung von (höchstens) 2n-tev Ordnung.

Und besteht zwischen den Krümmungen einer Raumkurve eine Beziehung n-ter Ordnung, so besteht zwischen den geodätischen Krümmungen der gonaltrajektorien ihrer Hauptnormalenfläche eine Beziehung von (höchstens) 2n-ieT Ordnung,

Diese Sätze lassen sich auch leicht analytisch nachweisen.

Es mögen anschließend an die Formeln (1) und (2) einige spezielle, Neues bringende Fälle behandelt werden.

1

Soll и = konst. = — YT sein, so gilt für die Ausgangskurve :

m ? ( u^ + v^) +2mv + 1 =—Cu, d.h.:

Besteht zwischen den geodätischen Krümmungen einer Orthogonaltrajektorie einer Regelfläche die Beziehung:

SO liegt auf der Regelfläche im konstanten Abstand m eine Orthogonaltrajektorie

mit konstanter geodätischer Torsion ^r-

Und besteht zwischen den Krümmungen einer Raumkurve eine Beziehung: 2/1 , 1\ , . 2m . С

SO liegt auf ihrer Hauptnormalenfläche im konstanten Abstand m eine Kurve

1 konstanter geodätischer Torsion -j^.

1 Wird V = konst. = —— gewählt, so wird:

т2 ( ц2 + ^2) +2mv + 1 =—C{m{u^ + v^) -\-v], d.h.:

Besteht zwischen den beiden geodätischen Krümmungen einer trajektorie einer Regelfläche die Beziehung:

m

( '» + 0 ( 4 + ^)+l = (2m + C)i-,

so liegt auf der Regelfläche in konstantem Abstand m eine Kurve konstanter geo-

1 dätischer Krümmung -^.