V . 8 z. Nagy^ Algebraische und gewisse transzendente Gleichungen.

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Die Sätze II und III sind analog zu den Sätzen, die von J. L. W. V. Jensen gesprochen*) und vom Verfasser bewiesen und verallgemeinert wurden^).

Es gilt nämlich unter anderem der Satz:

Jede nichtreelle Nullstelle der k-ien Ableitung F^^^(z) einer Funktion F{z) vom Geschlecht 1* liegt im Innern oder auf dem Rande mindestens einer Jensenschen Ellipse A-ter Art. Eine Jensensche Ellipse k-ter Art hat die Verbindungsstrecke eines jugiert komplexen Nullstellenpaares von F(z) zur Nebenachse, ihre Hauptachse ist Yk-msl so groß. Eine Jensensche Ellipse erster Art ist ein Kreis, ein Jensenscher Kreis.

Es gelten die folgenden Sätze®):

IV . Jeder kritische Punkt in bezug auf eine Funktion i>om Geschlecht 1* liegt im Innern oder auf dem Rande mindestens eines Jensenschen Kreises der Funktion.

V . Jeder kritische Punkt k-ter Ordnung in bezug auf eine Funktion i>om Geschlecht 1* liegt im Innern oder auf dem Rande mindestens einer Jensenschen Ellipse k-ter Art in bezug auf die Funktion.

( Auch diese Sätze gelten für die erhöhten und erweiterten kritischen Punkte.) Ist nämlich a + ib ein kritischer Punkt der Funktion F{z) vom Geschlecht 1*,

so hat die Funktion F(z) nach dem Satze II immer solche Nullstellen Xj^ ± iy,.,

für die

U ( x , , y , ) ^ ( x , - a ) ^ - yl + b^^O

ist . Daraus folgt, daß der kritische Punkt a + ib im Innern oder auf dem Rande des

Jensenschen Kreises

( x — Xj,)^ + y^ — yl = 0

liegt .

Hat die Funktion F(z) im Punkte a + ib einen kritischen Punkt k-ter Ordnung,

so hat die Funktion F(z) nach dem Satze III immer solche Nullstellen Жд. ± iy^^^ für

welche

{ xj , — aY — kyl + ft62 ^0

ist . Der kritische Punkt /c-ter Ordnung а -\- ib liegt also im Innern oder auf dem Rande

der Jensenschen Ellipse A-ter Art

( x — x^f + ky^ — kyl=^0. Damit sind die Sätze IV und V bewiesen.

§ 4. Ungleichungen lür die nichtreellen Nullstellen einer Funktion vom Geschlecht 1*.

Faßt man in der Summe Zg der Gleichung (8) die gleichen Glieder, die sich auf konjugiert komplexe Nullstellen der Funktion F(z) vom Geschlecht 1* beziehen, sammen, so ist

( 11 ) Z'2 = 2i;++2 2:_ + 22'„,

wo 22"+, 2 ir_ bzw. 2 E^ die Summe der positiven, negativen bzw. verschwindenden Glieder von Z^ bedeutet. Das Glied der Summe 2"+, 2Г_ oder i^o, das sich auf das jugiert komplexe Nullstellenpaar x^ ± ij/i von F(z) bezieht, hat die Form

, , 2\ _____^(a^ti Ук) _ _______{^k — Д)" — yl + 6'

^ • ^ иЧ'^к, Ук) + V^{^k, Ук) [(^*- «)'-yl + ö*? + 4xk - a)^yl •

• ) Recherches sur la théorie des équations, Acta Math. 86 (1913), S. 190.

' ) Zut Theorie der algebraischen Gleichungen, Jahresbericht der Deutsch. Math. Ver. 81 (1922), S. 260—261.

в ) Diese Sätze sind Verallgemeinerungen der Sätze IX, X und XII von N, S. 140—141. Vgl. auch die zweite Arbeit von G. Pôlya, a. a. О. ^),