H as se, Differentiale in algebraischen Funktimenkörpem, 63

Sp ( f ) = ZWy'to zu Viui^l gehören. Es ist dann

Die Formeln (9) sind also die Identitäten

( 9' ) г;_,_1 = t^,,_i

in r[tti^]. Diese Identitäten bleiben aber richtig, wenn man von Г zum körper Гр mod. p übergeht und dann für die Unbestimmten u^ die Koeffizienten üif^ der g^/o) ^us (10) einsetzt, die ja in dem Erweiterungskörper к von Гр liegen. Da hierbei

die Vf, und Wy^, in die Koeffizienten der ^-Entwicklung von -7^ und der ^o-Entwicklungen

der S^{f) übergehen, deren Berechnung aus (10) ja nach demselben formal-algebraischen Schema erfolgt, wie die Berechnung der v^, und w^^, aus (10), so ergibt sich das Bestehen der Formeln (9) und damit der Beweis des Residuensatzes auch im allgemeinen Falle.

§ 6. Beliebiger vollkommener Konstantenkörper.

Ist der Konstantenkörper к nicht algebraisch-abgeschlossen aber jedenfalls kommen, so verstehe ich unter den Differentialen von К einfach die durch Elementpaare x^ у aus К gelieferten Differentiale у dx von К = Kk, wo к die algebraisch-abgeschlossene Hülle von к ist.

Wie sich ohne weiteres aus den Ausführungen in H. § 1 ergibt, ist К algebraischer Funktionenkörper über к als Konstantenkörper. (Hierfür ist die Vollkommenheit von ä: wesentlich.)

In К zerfällt jeder Primdivisor p von К vom Grade m in m verschiedene konjugierte Primdivisoren p vom Grade 1, entsprechend dem Zerfallen des Restklassenkörpers mod. p — einer algebraischen Erweiterung m-ten Grades von к — in die direkte Summe von m Körpern к bei der Erweiterung des Koeffizientenkörpers к auf Ä. (Auch hierfür ist die Vollkommenheit von к wesentlich.)

Hieraus ergibt sich ohne weiteres:

a ) Die Ordnungszahlen Vp (y dx) für die m in p aufgehenden p^ sind einander gleich; sie definieren also eindeutig eine Ordnungszahl Vp{y dx) = v^ {y dx) und damit einen Divisor

( 11 ) ydx ^np'^^''^^ = ППрУ^

von K.

b ) Die Residuen QÂydx) für die minp aufgehenden p^ sind zueinander konjugiert in bezug auf k\ sie definieren also eindeutig ein Residuum

( 12 ) q[ydx)=j:Q-{ydx)

als Element aus k.

Da к nach der Forderung H. (2) in К algebraisch-abgeschlossen ist, ist Klk(x) mit Klk(x) gleichzeitig transzendent oder algebraisch (je nachdem xink liegt oder nicht) und im letzteren Falle von gleichem Grad, also auch gleichzeitig separabel oder inseparabel. Daher gilt Satz 1 wörtlich auch für beliebige vollkommene k.