180 Davenport und Hasses Die Ntdlstellen der Kongruemzetafunkiionen in gewissm 2yMisch£n Fällen, wo also die g^ ganze rationale Zahlen sind, speziell

so wird

7@p ( C ) ^ у _ >«'o+»'xP+—+»'/-.iP^-iii_________mod 35*^*^*^^

Dies setzen wir in (1) ein. Wir nehmen ohne Einschränkung 0 ^ oc < pf — 1 an; und es sei ^

о^^ос^ + а^р + .^. + ос^^гр^-^ (nicht alle ^i = p - J '

also

Dann ergibt sich:

a ( oc ) =(Xo + • * • + ocf^i.

Ш г(у) = — У ^ . . . /? ~_______у >(»'o-«o)+(»'i-«i)p+--'+<7-i--*/~i>*^^""^ mod 38^*^+^

Hier ist die -2/ = 0, außer für diejenigen Wertsysteme n, für die

( 5 ) (^0 — ^o) + (^1 — oc^)p H--------h (»^/-1 — oci^i)p^^^ = 0 mod. p^ — i

ist ; für diese Wertsysteme Vi ist die ^ = p^ — 1 = — 1 mod. Cß.

Die Kongruenzbedingung (5) impliziert nun durch Division mod. p^ — 1 mit p* (i = 0,..., /— 1) das Kongruenzensystem

( 6 ) ^{vw — oci+j)p^ ^ 0 mod. p^ — 1,

wobei die Indizes der Vi und л< mod. / gerechnet sind und i, j hier und im folgenden durchweg die Zahlen 0,..., /—1 durchlaufen sollen. Das Kongruenzensystem (6) bedeutet das Gleichungssystem

( 7 ) ^(n+;-«,+,.)p^ = /.i(p^-l)

mit ganzen rationalen /г^; insbesondere folgt daraus durch Summation über i\

( 8 ) fn-2;a, = (p-l)^/^,.

Wegen n^O und {.i^M ^a'ilî f ,"I p - l} ^'^^' ^^^ ^'^ ^^^^^^ /^i(p^-l)>-f(p-l)/>^=-(p^-l), also

( 9 ) /.,^0, und somit

( 10 ) £vi^£xi.

i i

Andrerseits ist nach den Summationsbedingungen in (4)

( 11 ) Vi ^ Hi und JE Vi ^ 2 Hi ^ a(a) = -2^^i. Beides zusammen ist nur verträglich für das eine Wertsystem

î ; | == ?ei = (Xi,