6 Wegnerf Bestmmwig eines auflösbaren Körpers von Prinrnfilgrad am der Form semer DishriminafUe.

Dabei gilt als Ausdruck dafür, daß N/P galoissch ist,

fi^^fi^ mit (Ä,p)-1 10).

Wir betrachten den Führer In/z von N/Z; wir brauchen hier nur die durch den Zusammenhang mit der Relativdiskriminante von N/Z,

^N / Z 'N/Z »

gegebene Bedeutung dieses Führers, nicht auch seine klassenkörpertheoretische tung. Aus der oben bereits gegebenen Bestimmung der Beiträge zu i9k/p ergibt sich, daß entsprechend den drei Fällen a), ß), y), also entsprechend den drei Typen von &kif'

* K / p - p^ - 2b2 al-^ für In/z die folgenden drei Typen vorliegen ^^) :

Diese drei Typen haben wir jetzt näher zu diskutieren.

^ ) fN/z ^ (%)-

p^ sei eine in a^ vorkommende Primzahl und zuerst p^^^i mod. p mit /д = p — 1.

Dann erzeugt Г*" die Zerlegungsgruppe eines Primteilers q von p^ in Z, es ist also

qT * «» = q, Ist dementsprechend qj'<^) mit g(T) vom Grad« ^ e^ — 1 der Beitrag von p^ zu /г, so folgt aus /г^~= /**:

T'gCn^ÄgCnmod . (p, n-1)

und daraus durch e,-malige Iteration

g ( T ) =k'%T ) той. p.

Weil g( Г) Ф 0 mod. p ist, wenn p^ in a^ vorkommt, ergibt sich also weiter

Ä * * ' = 1 mod. p. Daraus folgt:

Ist % = Px ' ' ' Pf^ Hiit л ^ 1 und sind die zu den p^ gehörigen e^ untereinander teilerfremd, so ist Ä^ ^ 1 mod. /?, also

ß ) ki2-^P4%).

Hier kann ohne eine Zusatzvoraussetzung auf A: = 1 mod. p, also ii''^ ~ i^ ge-

^'' ) Wegen der Definition von T siehe S. 2.—Unter /i^* ist die Anwendung von T auf [i verstanden. — T stellt sich als Substitution von 2 in der Form C^=^ dar, wo g eine Primitivwurzel mod. p ist, die nicht notwendig mit der Primitivwurzel r in der Relation ST = TS^ zusammenfällt (siehe dazu die Ausführungen im letzten Teil dieser Arbeit). — Mit = wird die Gleichheit bis auf p-te Zahlpotenzen in Z bezeichnet; entsprechend ist nachher standen.

^^ ) Ohne die obigen Überlegungen heranzuziehen, kann das auch aus ûifp = pp—^ und der Diskriminanten- formel entnommen werden, die sich ohne weiteres durch Elimination von ^n/p aus denЪeîden oben auf S. 3 angeführten Diskriminantenformeln ergibt; man beachte dabei die Invarianz des Ideals ^h/z bei den Substitutionen der Galois- gruppe von Z/P. Siehe dazu auch i), S. 183, sowie P, S. 149, Satz VII.