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Über den Aufbau der Permutation geordneter Elemente.

Von Franz Denk in Erlangen.

§ 1. Einleitung,

1 , 1. Fragestellung, Es soll sich im folgenden ausschließlich um Permutationen von Elementen handeln, die alle untereinander verschieden sind und welchen eine lineare Ordnung aufgeprägt ist, denen also z. B. die л ersten Zahlen der natürlichen Zahlenreihe zugeordnet sind. Letztere wollen wir deshalb als Elemente der hier betrachteten tationen ansehen. Zur Darstellung der Permutationen benutzen wir die zweizeilige Schreibweise :

л= ( ' 2 ■■■")

\a^ «2 • • • ^n/ oder die einzeilige Schreibweise:

Pn — («1 a^ . , , ün). Unter einem oberen bzw. unteren v-Interç>all^ in Zeichen

Ji ^ {x, X -^ V — i) bzw. Jii = (a^,, a^+,_i) verstehen wir v in der ersten bzw. in der zweiten Zeile der zweizeiligen Darstellung von Pn unmittelbar aufeinanderfolgende Elemente, deren erstes x bzw. a^ sein soll. Besteht (für 1 < V < д) ein Intervall /ц aus denselben^) Elementen wie ein Intervall /i, so nennen wir ersteres eine (echte) Unterpermutation Uy von P„ und schreiben einzeilig

U , = (/„) oder zweizeilig

и ^(Ji\^(^ x + i,,,x-\-v — i\

Alle Pny die keine Unterpermutationen enthalten, nennen wir primitii^, die übrigen imprimitif^.

Für n ^ 2 können wir weder von primitiv noch von imprimitiv sprechen. Es ist zweckmäßig, die Permutationen

л= ( ; ) . -.=(: â -^ « il i)

als elementar zu bezeichnen.

In den folgenden Zeilen sollen die primitiven und imprimitiven Permutationen etwas näher untersucht werden. Ich habe dabei eine Reihe von Bemerkungen und Ratschlägen, die ich Herrn Haupt verdanke, benützt.

^ ) Die Intervalle brauchen in den zwei Zeilen von P„ nicht unmittelbar untereinander zu stehen!