Teichmüller , Diskret bewertete perfekte Körper mit unvollkommenem Restkhssenkörper, 143

lung , sie mögen sich auf oc zusammenziehen. Dann liegt л für jedes к mit den letzten л„ in derselben Restklasse r^. (mod л:*'), zuletzt ist w{ocn — a) ^ it. Das heißt aber lim w(ocn — a) = 00.

Von jetzt an ist К immer perfekt.

Unter einem Repräsentantensystem (genauer: Repräsentantensystem von / mod (л)) versteht man eine Teilmenge von /, die mit jeder Restklasse aus 9?^^ = Й genau ein Element, den ^^Repräsentanten*"^ dieser Restklasse, gemein hat. Bekannt ist

Hilfssatz 3. Ist Пп eine Folge mit w(7tn) = n {z. B. Пп = n^) und R ein Repräsen- tantensystem in K^ so läßt sich jedes Element von К eindeutig in der Form

( x= i: апПп (an Ci R)

darstellen . Insbesondere lassen sich die Elemente ç>on I eindeutig in der Form

00

( х = 2:апп'^ (dn^R)

darstellen .

Wir werden später gelegentlich einen Oberkörper К endlichen Grades n von К zu

betrachten haben. Die „Bewertung" w{(x) von К läßt sich auf eine und nur eine Weise

zu einer Bewertung w(/K) fortsetzen, die den Elementen А von К Zahlen so zuordnet,

daß (1) gilt. Nur sind die Werte w(/K) nicht mehr notwendig ganze Zahlen, sondern es

1 _ 1

können Brüche auftreten, die aber jedenfalls Vielfache von — sind. Ist w(T]) = —

der kleinste positive Wert von w^ so ist e eine natürliche Zahl, die Verzweigungsordnung von KjK. Man kann г^(А) durch das stets ganzzahlige ew(fK) ersetzen und alle vorigen Schlüsse durchführen. Der Restklassenkörper Й von К ist ein endlicher Oberkörper von Й, der Grad (Ä: Ш) heißt Restklassengrad, Es gilt

Hilfssatz 4. Der Grad von К über К ist das Produkt aus Restklassengrad und Ver- Zweigungsordnung,

Wir interessieren uns hier für den Fall, daß der Restklassenkörper Й des diskret bewerteten Körpers К die Primzahlcharakteristik p hat. К hat dann entweder auch die Charakteristik p (charakteristikgleicher Fall) oder die Charakteristik 0 (Charakteristik- ungleicher Fall), Im letzteren Fall liegt p selbst, als Element von / angesehen, in (n) und hat daher eine positive Ordnungszahl

w ( p ) = s'^i\ ist 5 = 1, d. h. ist p ein Primelement, so heißt К unverzweigt,

й heißt bekanntlich vollkommen^ wenn man in Й aus jedem Element von Й die p-te Wurzel ziehen kann. Die Bestimmung der Struktur von К bei vollkommenem Й ist bei Witt a. a. 0. veröffentlicht. Ich gebe nur die für uns wichtigen Hauptergebnisse an.

Hilfssatz 5. К enthält ein ausgezeichnetes Repräsentantensystem Д, das multiplikative Repräsentantensystem^ das durch jede einzelne der folgenden Eigenschaften eindeutig stimmt ist:

1 ) Liegt (x^ in der Restklasse û^"""(a e t), so strebt (sf' für n-^ со gegen den tanten а von а in R,

2 ) Ist ащ der Repräsentant von a^""** in R, so gilt a^\ = a^,

3 ) Sind a, 6, с die Repräsentanten von a, b, с in R und gilt ab = c, dann gilt

auch ab = c,

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